Ta có
$|y|=\left| {\sin^5 x+\sqrt 3 \cos x} \right| \le \left| {\sin^5x } \right|+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|\le\sin^4x+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|$
Chú ý là $|\sin x | \le 1\Rightarrow |\sin x |^5 \le \sin^4x$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin x =1 \end{matrix}} \right.$.
Suy ra
$y \le (1-\cos^2x)^2+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|=(1-t^2)^2+\sqrt 3$.
trong đó $0 \le t=|\cos x| \le 1.$
Ta có sẽ chứng minh $(1-t^2)^2+\sqrt 3t \le \sqrt 3$,
Thật vậy, BDT trên
$\Leftrightarrow (t^2-1)^2+\sqrt 3(t-1) \le 0$
$\Leftrightarrow (t-1)\left[ {(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3} \right] \le 0\qquad (*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh
$g(t)=(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3=t^3+t^2-t+\sqrt 3-1>0$ với $0 \le t \le 1.$
Ta có $g'(t)=3t^2+2t-1=0\Leftrightarrow t=1/3$.
Lập bảng biến thiên của $g(t)$ ta sễ suy ra $g(t) \ge g(1/3)>0.$
Nên $(*)\Leftrightarrow t\le 1,$ luôn đúng.
Vậy $|y| \le \sqrt 3\Leftrightarrow -\sqrt 3 \le y \le \sqrt 3.$
Vậy
$\min y=-\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=-1$.
$\max y=\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=1$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Trước hết nêu ra (không chứng minh) bài toán sau đây. Hai tam giác $ABC$ và $MNK$ có chung trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
Ta có
$N$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k$ nên
$\overrightarrow{NB}=-k\overrightarrow{NC}\Rightarrow\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-k\overrightarrow{AC}+k\overrightarrow{AN}\Rightarrow (k-1)\overrightarrow{AN}= -\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$.
Tuơng tự như vậy ta có
$(k-1)\overrightarrow{BK}= -\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{BA}$
$(k-1)\overrightarrow{CM}= -\overrightarrow{CA}+k\overrightarrow{CB}$
Suy ra
$(k-1)(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM})=(k+1)\left ( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \right )=\overrightarrow{0}$
suy ra $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$,đpcm.

$x -2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=\left (\sqrt{x-1}-1 \right )^2 \ge 0$
Vậy $\min (x -2\sqrt{x-1})=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x=2.$