Không gian mẫu có $C^3_{10}=120$

b)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \tan t\Rightarrow dx= \dfrac{1}{\cos ^2t}dt$ 
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$
 và $\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2}+1}}= \dfrac{\tan^2t}{\sqrt{\tan^2t +1}}=\tan^2t.\sqrt{\cos^2 t}=\tan^2t.\cos t$  do  $ t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{\tan^2t}{\cos t}dt= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{\sin^2 t}{\cos ^3t}dt= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\left (\dfrac{1}{\cos ^3t}-\dfrac{1}{\cos t} \right )dt$ 
Đến đây không khó để giải tiếp.

a)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \tan t\Rightarrow dx= \dfrac{1}{\cos ^2t}dt$ 
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$
 và $\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{\tan^2t +1}}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$  do  $ t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos t}dt= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos ^2t}d(\sin t)= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{1-\sin^2t}d(\sin t)$ 
Đến đây không khó để giải tiếp.

b)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có 
$ \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2+1-1}{\sqrt{x^{2} +1}}$
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} +1}}$ 
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1}}}{x+\sqrt{x^{2} +1}}$ 
$=\left (\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1} \right )'-\left ( \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right| \right )'$ 
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\left[ {\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1}- \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$ 
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé.

a)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có 
$  \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}=
\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1}}}{x+\sqrt{x^{2} +1}}=\left (\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right| \right )'$ 
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\left[ {\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$ 
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé.

b)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \tan t\Rightarrow dx= \dfrac{1}{\cos ^2t}dt$ 
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$
 và $ \sqrt{x^{2} +1}= \sqrt{\tan^2t +1}=\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 t}}=\dfrac{1}{\cos t}$  do  $ t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos ^3t}dt= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos ^4t}d(\sin t)= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{(1-\sin^2t)^2}d(\sin t)$ 
Đến đây không khó để giải tiếp.

b)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có 
$ \sqrt{x^{2} +1}=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} +1}}$ 
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1}}}{x+\sqrt{x^{2} +1}}$ 
$=\left (\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1} \right )'+\left ( \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right| \right )'$ 
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\sqrt{x^{2} +1}dx=\left[ {\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1}+ \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$ 
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé.

a)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có 
$ \sqrt{x^{2} -1}=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} -1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} -1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} -1}}$ 
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} -1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} -1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} -1}}}{x+\sqrt{x^{2} -1}}$ 
$=\left (\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1} \right )'-\left ( \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} -1}} \right| \right )'$ 
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\sqrt{x^{2} -1}dx=\left[ {\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1}- \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} -1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$ 
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé. 

a)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \dfrac{1}{\cos t}\Rightarrow dx= \dfrac{\sin t}{\cos ^2t}dt$ 
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\frac{\pi}{4}, \arccos\frac{1}{3}} \right]$
 và $ \sqrt{x^{2} -1}= \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 t} -1}=\sqrt{\tan^2 t}=\tan t$  do  $t \in \left[ {\frac{\pi}{4}, \arccos\frac{1}{3}} \right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}} \tan t\dfrac{\sin t}{\cos ^2t}dt= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}}\dfrac{\sin^2 t}{\cos ^3t}dt= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}}\left (\dfrac{1}{\cos ^3t}-\dfrac{1}{\cos t} \right )dt$ 
Đến đây không khó để giải tiếp. 

b) Để hai PT tương đương thì ít nhất nó phải có nghiệm chung. Vì thế theo câu a) thì ta thấy không thể có trường hợp $a \ne 1.$
Vì nếu vậy thì $x_0=1$  và $a=-2$. Nhưng khi thay $a=-2$ vào thì ta được hai PT 
$\begin{cases}x^2+x-2=0\\x^2-2x+1=0 \end{cases}$ 
Và rõ ràng này hai PT này không tương đương.
Vậy $a=1.$ 

Ta có
$\dfrac{\sin x\cos x}{4\sin^{2} x+7\cos^{2} x+3\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{8\sin^{2} x+14\cos^{2} x+6\cos 2x}=\dfrac{\sin2 x}{4(1-\cos2x)+7(1+\cos2x)+6\cos 2x}$
$=\dfrac{\sin2 x}{9\cos 2x+11}=-\dfrac{1}{18}.\dfrac{(9\cos 2x+11)'}{9\cos 2x+11}$
Suy ra 
 $\int\limits_{}^{} \dfrac{\sin x\cos x}{4\sin^{2} x+7\cos^{2} x+3\cos 2x}dx=-\dfrac{1}{18}\ln|9\cos 2x+11|+C$

PT
$\Leftrightarrow (9\sin x-9) + (6\cos x - 3\sin 2x) + \cos 2x +1= 0$
$\Leftrightarrow 9(\sin x-1) + 6\cos x(1-\sin x) +2(1-\sin^2 x)= 0$
 $\Leftrightarrow (\sin x-1)(9 - 6\cos x -2-2\sin x)= 0$
 $\Leftrightarrow (\sin x-1)(7 - 6\cos x -2\sin x)= 0$
 Mặt khác ta thấy $6^2 +2^2 <7^2$ nên PT $7 = 6\cos x +2\sin x$ vô nghiệm.
Do vậy $\sin x= 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb Z.$