c. $(d)$ trùng $(d')$ khi và chỉ khi
$\begin{cases}m-1=2m+1 \\ -m=m^2+1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=-2\\ -m=m^2+1 \end{cases}$, đây là điều không thể xảy ra.
Vậy $(d)$ không thể trùng $(d')$.

b. Kiểm tra rằng điểm $I(1,-1)$ không thỏa mãn PT $y=(2m+1)x+m^2+1$ vì $-1=m^2+2m+2$ là PT vô nghiệm. Do đó $I \notin (d').$

a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ đi qua. Tức là
     $y_0=(m-1)x_0-m, \quad \forall m.$
$\Leftrightarrow m(x_0-1)-(x_0+y_0)=0, \quad \forall m.$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_0-1=0 \\ -(x_0+y_0)=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_0=1 \\y_0=-1 \end{cases}$.
Vậy $I(1,-1)$ là điểm cố định mà $(d)$ đi qua.

ĐK $: -1 \le x \le 1.$ PT
$\Leftrightarrow 2^{\sqrt{1-x^2} }-4\sqrt{1-x^2}\ln 2=2^\sqrt{1-x} - 4\sqrt{1-x} \ln 2$
$\Leftrightarrow f\left ( \sqrt{1-x^2}\right )=f\left (\sqrt{1-x} \right ).$
Trong đó $f(t)=2^t-4t\ln 2, \sqrt 2\ge t \ge 0.$
Ta có $f'(t)=2^t\ln2-4\ln2<0$ do đó $f$ là hàm nghịch biến.
Chú ý rằng với $-1 \le x \le 1$ thì $\sqrt 2\ge \sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x} \ge 0$. Do vậy
$f\left ( \sqrt{1-x^2}\right )=f\left (\sqrt{1-x} \right )\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}= \sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1.$

2.   $3xy-2x+5y=6$
$\Leftrightarrow x(3y-2)=6-5y$
$\Leftrightarrow x=\frac{6-5y}{3y-2}$, chú ý rằng $y \in \mathbb Z\Rightarrow y \ne \frac{2}{3}\Rightarrow 3y-2 \ne 0.$
Suy ra $\frac{6-5y}{3y-2}\in \mathbb Z\Rightarrow(3y-2) \mid (6-5y)\Rightarrow (3y-2) \mid 3(6-5y)=18-15y$.
Mặt khác $(3y-2) \mid 5(3y-2)=15y-10$.
Do đó $(3y-2) \mid (18-15y+15y-10)=8\Rightarrow 3y-2 \in \{-1,1,2,-2,4,-4,8,-8\}$
$\Rightarrow y \in \{1,0,2,-2\}$.
Thay ngược lại dễ có $(x,y) \in \{(1,1),(-3,0),(-1,2)\}.$

PT
$\Leftrightarrow 2\log _2(x-1)^2\sqrt{x^2-2x-1}=6 $
$\Leftrightarrow (x-1)^2\sqrt{x^2-2x-1}=8$
$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)\sqrt{x^2-2x-1}=8$
Đặt $t=\sqrt{x^2-2x-1}$ thì PT trên
$\Leftrightarrow (t^2+2)t=8$
$\Leftrightarrow t^3+2t-8=0$
PT bậc ba này có nghiệm không đẹp và nếu muốn làm tiếp em có thể sử dụng phương pháp Cardano giải PT bậc ba tổng quát.

PT
$\Leftrightarrow 4.6^x-2.3^x+6.2^x-3=0$
$\Leftrightarrow 2.3^x(2.2^x-1)+3(2.2^x-1)=0$
$\Leftrightarrow (2.3^x+3)(2^{x+1}-1)=0$
$\Leftrightarrow  2^{x+1}-1=0$
$\Leftrightarrow  x=-1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết