PT
$\Leftrightarrow 1+x+\log _2(2011-2^{x-1})=\log _2(2^x+1)^2$
$\Leftrightarrow 1+x=\log _2(2^{2x}+2.2^x+1)-\log _2(2011-2^{x-1})$
$\Leftrightarrow 1+x=\log _2\dfrac{2^{2x}+2.2^x+1}{2011-2^{x-1}}$
$\Leftrightarrow 2^{x+1}=\dfrac{2^{2x}+2.2^x+1}{2011-2^{x-1}}$
$\Leftrightarrow 2^{x+1}\left (2011-2^{x-1} \right )=2^{2x}+2.2^x+1$
$\Leftrightarrow 4022.2^x-2^{2x}=2^{2x}+2.2^x+1$
$\Leftrightarrow 2.2^{2x}-4020.2^x+1=0$
Từ đây dễ thấy PT ban đầu chỉ có hai nghiệm $x_1,x_2$, chú ý là nó phải thỏa mãn điều kiện $2^x <4022.$ Theo định lý Vi-et ta có
$2^{x_1}.2^{x_2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}=2^{-1}\Rightarrow x_1+x_2=-1.$

Đặt $A_n=1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2n chữ số 0} }1$.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $11 \mid A_n$ với mọi $n \in \mathbb N.$
Thật vậy,
+ Với $n=0,n=1$ dễ kiểm tra $11 \mid 11=A_1,11 \mid 1001=A_2.$
+ Giả sử rằng $11 \mid A_k$ với $k \in \mathbb N.$ Ta có
$$A_{k+1}=1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2k+2 chữ số 0} }1=\left[ {1\underbrace{00\ldots00}_{\text {2k chữ số 0} }1-1} \right].100+1=100A_k-99$$
Từ đây dễ suy ra $11 \mid A_{k+1}$. Ta có đpcm.

3. Em xem ở đây nhé 
 http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114789/bai-nay

1. BDT cần chứng minh  $\Leftrightarrow \frac{a^{n}+b^{n}}{2}>\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$.
Và em có thể tham khảo tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/101424/bai-101414

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/102092/bai-102080

b/ $y= \frac{\cos^2x+\sin x.\cos x}{1+\sin^2x}= \frac{\cos^2x+\sin x.\cos x}{2\sin^2x+\cos^2x}.$
+ Nếu $\cos x =0\Rightarrow y=0$.
+ Nếu $\cos x \ne 0$ thì
$y=\frac{1+\dfrac{\sin x}{\cos x}}{2\left ( \dfrac{\sin x}{\cos x} \right )^2+1}=\frac{1+\tan x}{2\tan^2x+1}=\frac{1+t}{1+2t^2}$
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(t)=\frac{1+t}{1+2t^2}$ với $t \in \mathbb R$ ta có
$\min y=\frac{2+\sqrt 6}{4}\Leftrightarrow \tan x =-1+\sqrt{\frac{3}{2}}$
$\max y=\frac{2-\sqrt 6}{4}\Leftrightarrow \tan x =-1-\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\left[ {\frac{1-x^2}{(1+x^{2})^{2}}+\frac{1+x^2}{(1+x^{2})^{2}}} \right]dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }d\left (\frac{x}{1+x^2}\right )+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{\sqrt{2} }\frac{dx}{1+x^2}$
$=\frac{1}{2}\left[ {\frac{x}{1+x^2}} \right]_{1}^{\sqrt{2} }+\frac{1}{2}\left[ {\arctan x} \right]_{1}^{\sqrt{2} }=\frac{-6+4 \sqrt2-3\pi+12 \arctan \sqrt 2}{24}.$