Đây là một bài toán khá khó và cần một công cụ khá mạnh để giải quyết.
Trước hết xin nêu ra (không chứng minh) BDT trọng số trung bình cộng - trung bình nhân tổng quát hay còn gọi là Cô-si tổng quát hoặc Cô-si trọng số.
Cho $a_i, \lambda_i>0$ sao cho $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ thì ta có
$$\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}.$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_i=a_j, 1 \le i,j \le n.$
Áp dụng BDT cho $\lambda_i=\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}, a_i =x_i^i, 1 \le i \le n.$ ta được
$\dfrac{A}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}x_i^i=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}=\left ( \prod_{i=1}^nx_i \right )^{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}$.
Mặt khác tử giả thiết $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=n$ dễ suy ra $\prod_{i=1}^nx_i  \ge 1.$
Do đó $A \ge \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}.$
Vậy $\min A = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\Leftrightarrow x_i=1, 1 \le i\le n.$

Bạn có thể tham khảo tại đây nữa nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113580/min-max

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114201/tranh-thu-len-hoi-cac-ad-may-cau

Gọi $M(m,4)$ là những điểm trên $y=4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PT đường thẳng qua $M$ có dạng $y=k(x-m)+4$. Để đường thẳng này tiếp xúc với $y=\frac{x^2}{x-1}$ thì hệ sau đây phải có nghiệm
$\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k(x-m)+4 \\ \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k \end{cases}\Rightarrow \frac{x^2}{x-1}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}(x-m)+4$
$\Rightarrow (x-2)\left[ {(m-3)x+2} \right]=0$
$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=2\\ x_2=\frac{-2}{m-3}, m\ne 3. \end{matrix}} \right.$
Ta thấy rằng $x_1=2$ cho $k_1=0$ và đây chính là đưởng thẳng $y=4$ song song với $Ox$.
Do vậy để đường thẳng thứ hai tạo với với đưởng thẳng này góc $45^\circ$ thì $k_2=1$ hoặc $k_2=-1$ vì $k_2=|\tan 45^\circ|=1$.
Thay vào PT $\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k_2$ chỉ cho ta nghiệm $x_2=1\pm \frac{1}{\sqrt 2}$ khi $k=-1.$
Tiếp tục thay vào $x_2=\frac{-2}{m-3}$ cho ta $m=2\sqrt 2-1$ hoặc $m=-2\sqrt 2-1.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn $M_1(2\sqrt 2-1,4),M_2(-2\sqrt 2-1,4).$

Gọi $M(m,4)$ là những điểm trên $y=4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PT đường thẳng qua $M$ có dạng $y=k(x-m)+4$. Để đường thẳng này tiếp xúc với $y=\frac{x^2}{x-1}$ thì hệ sau đây phải có nghiệm
$\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k(x-m)+4 \\ \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k \end{cases}\Rightarrow \frac{x^2}{x-1}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}(x-m)+4$
$\Rightarrow (x-2)\left[ {(m-3)x+2} \right]=0$
$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=2\\ x_2=\frac{-2}{m-3}, m\ne 3. \end{matrix}} \right.$
Ta thấy rằng $x_1=2$ cho $k_1=0$ và đây chính là đưởng thẳng $y=4$ song song với $Ox$.
Do vậy để đường thẳng thứ hai tạo với với đưởng thẳng này góc $45^\circ$ thì $k_2=1$ hoặc $k_2=-1$ vì $k_2=|\tan 45^\circ|=1$.
Thay vào PT $\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k_2$ chỉ cho ta nghiệm $x_2=1\pm \frac{1}{\sqrt 2}$ khi $k=-1.$
Tiếp tục thay vào $x_2=\frac{-2}{m-3}$ cho ta $m=2\sqrt 2-1$ hoặc $m=-2\sqrt 2-1.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn $M_1(2\sqrt 2-1,4),M_2(-2\sqrt 2-1,4).$

Các PT mặt cầu là

1,   $(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2=13$. Tâm $I(3,-1,2), R=\sqrt{13}.$

2,   Không phải vì
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 3y + 5z + 100=(x+1)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 + (z+\frac{5}{2})^2+\frac{181}{2} > 0$

3. Không phải vì hệ số của $x^2,y^2,z^2$ khác nhau.

4,   $(x+1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2 + z^2=\frac{17}{4}$. Tâm $I(-1,\frac{1}{2},0), R=\frac{\sqrt{17}}{2}.$

5,   Không phải vì hệ số của $x^2,y^2,z^2$ khác nhau.

6,   $ (x-\frac{1}{2})^2 +y^2+ z^2=\frac{1}{4}$. Tâm $I(\frac{1}{2},0,0), R=\frac{1}{2}.$

Ta biết rằng $\int\limits \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$.
Do đó
$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^{4}+4x^{2}+3}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\left ( \frac{dx}{x^2+1}-\frac{dx}{x^2+3} \right )$
$=\frac{1}{2}\left[ {\arctan x-\frac{1}{\sqrt 3}\arctan \frac{x}{\sqrt 3}} \right]_{0}^{1}=\boxed{\dfrac{9-2\sqrt 3}{72}\pi}.$