$\left\{ \begin{array}{l} x^{3}+x^{2}=1+y-x+xy\qquad (1)\\ 7xy+y=7+x \qquad (2)\end{array} \right.$
PT $(2) \Leftrightarrow y(7x+1)=x+7\Leftrightarrow y=\frac{x+7}{7x+1}$, dễ thấy vì $7x +1 \ne 0$.
Thay vào PT $(1)$ ta được
     $x^{3}+x^{2}=1+\frac{x+7}{7x+1}-x+x\frac{x+7}{7x+1}$
$\Leftrightarrow -8-14 x+7 x^2+8 x^3+7 x^4=0$
$\Leftrightarrow (-1+x) (8+22 x+15 x^2+7 x^3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\ 7x^3+15x^2+22x+8=0 \end{matrix}} \right.$
PT $7x^3+15x^2+22x+8=0$ có nghiệm không đẹp nếu bạn muốn tìm nghiệm cụ thể có thể sử dụng phuơng pháp Cardano
http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba

PT
$\Leftrightarrow \sin^{3} x-\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$
$\Leftrightarrow \sin^{3} x-\cos ^{3}x=\sin^{3} x+\cos ^{3}x+\sin^2x\cos x+\cos^2 x\sin x$
$\Leftrightarrow 2\cos ^{3}x+\sin^2x\cos x+\cos^2 x\sin x=0$
$\Leftrightarrow \cos x(2\cos^{2}x+\sin^2x+\cos x\sin x)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x=0\\ 2\cos^{2}x+\sin^2x+\cos x\sin x=0 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cos x=0\\ 2+\tan^2x+\tan x=0  (\text {vô nghiệm} )\end{matrix}} \right.$

3. PT $\Leftrightarrow 3^{\frac{2}{x}}=3^{\frac{1}{2}}.3^{3x-1} \Leftrightarrow 3^{\frac{2}{x}}=3^{3x-\frac{1}{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{x}=3x-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 6x^2-x-4=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{12}$.

2. PT
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{4} \right )^x+\left ( \frac{\sqrt 5+1}{4} \right )^x=3.2^{-x}$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x+\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x=3$
Chú ý rằng $\frac{\sqrt 5-1}{2}.\frac{\sqrt 5+1}{2}=1$ nên nếu đặt $t=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x$ thì $\left ( \frac{\sqrt 5+1}{2} \right )^x=\dfrac1t$.
PT $\Leftrightarrow t+\dfrac1t-3=0\Leftrightarrow t^2-3t+1=0\Leftrightarrow t=\frac{3\pm\sqrt 5}{2}=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^{\mp 2}$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^x=\left ( \frac{\sqrt 5-1}{2} \right )^{\mp 2}\Leftrightarrow x=\pm 2.$

1. PT $\Leftrightarrow 9^{\log _22x}+3.9\log _{3 }3=0\Leftrightarrow 9^{\log _22x}+27=0$
PT này vô nghiệm vì $9^{\log _22x}+27 >0+27>0$.

Câu hỏi này của bạn khá rộng và phải xét nhiều trường hợp. Ví dụ cho $d_1,d_2,d_3$ trong đó $d_1 \parallel d_2$ cùng thuộc mặt phẳng $(P)$ và $d_3 \notin (P), d_3 \parallel (P)$. Khi đó đường thẳng $d$ cắt cả ba đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ là không tồn tại vì $d$ cắt $d_1,d_2$ thì phải thuộc $(P)$ nên không thể có điểm chung với $d_3$.

1. Hình vuông cạnh $5cm$ có diện tích $25cm^2$ trong khi đó $3$ hình vuông cạnh $4cm$ có tổng diện tích là $48cm^2>25cm^2$ nên do đó không thể phủ kín mà các hình vuông con không giao nhau.

2. Điều kiện $\begin{cases}x^2>3\\ x >-5/3 \end{cases}\Leftrightarrow x>\sqrt 3.$ PT
$\Leftrightarrow \log_2\dfrac{2(x^2-3)}{6x+10}=0\Leftrightarrow \dfrac{2(x^2-3)}{6x+10}=1\Leftrightarrow x^2-3x-8=0\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{41}}{2}$.

1. PT
$\Leftrightarrow 3.\left ( \frac{5}{7} \right )^{2x}+2-5.\left ( \frac{5}{7} \right )^{x}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\left ( \frac{5}{7} \right )^{x}-1} \right]\left[ {3\left ( \frac{5}{7} \right )^{x}-2} \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \left ( \frac{5}{7} \right )^{x}=1\\\left ( \frac{5}{7} \right )^{x}=\frac{2}{3}\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\x=\log_{5/7}\frac{2}{3}\end{matrix}} \right.$

Áp dụng BDT Cô-si ta có
$$P=(xy+\frac{x}{y})+(yz+\frac{y}{z})+(zx+\frac{z}{x})-(x+y+z)+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \\
\geq (2x+2y+2z)-(x+y+z)+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\\
=(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})+(z+\frac{1}{z})\geq 2+2+2=6$$
Vậy $ \min P=6\Leftrightarrow x=y=z=1$.

c. Từ câu a và câu b ta dễ suy ra hai điều sau
$\begin{cases}RB \parallel MI \\ RB=MI \end{cases}\Rightarrow $ tứ giác $MRBI$ là hình bình hành $\Rightarrow MR=BI$.
Mặt khác cũng theo câu a thì $AI=AD$, như vậy
$MR=BI=AB-AI=AB-AD,$ đpcm.