Trước hết dùng BĐT AM-GM dễ chứng minh được các BĐT sau
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z} \qquad \forall x,y,z >0.$
và
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Rightarrow \dfrac{9}{x+y+z} \ge \dfrac{ 3(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\qquad \forall x,y,z >0.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}\geq\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Chú ý BDT
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx)$
được chứng minh bằng phuơng pháp AM-GM như sau
$\begin{cases}x^2+y^2 \ge 2xy \\ z^2+y^2 \ge 2zy \\ x^2+z^2 \ge 2xz \end{cases}$
Cộng theo từng vế ta có đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Theo anh bài này nên là $AB=4\sqrt 2$ vì nếu không kết quả sẽ không ra nghiệm đẹp.

Em có thể xem thêm tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113605/toa-do-diem

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

BPT
$\Leftrightarrow 3\left ( \frac{2}{3} \right )^{2x}+1 \ge 4\left ( \frac{2}{3} \right )^x$
$\Leftrightarrow \left[ {\left ( \frac{2}{3} \right )^x-1} \right]\left[ {3\left ( \frac{2}{3} \right )^x-1} \right] \ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ {\left ( \frac{2}{3} \right )^x-1} \right]\left[ {\left ( \frac{2}{3} \right )^x-\frac{1}{3}} \right] \ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \left ( \frac{2}{3} \right )^x \ge 1\\ \left ( \frac{2}{3} \right )^x \le \frac{1}{3} \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x \le 0\\ x \ge \log_{2/3}(1/3) \end{matrix}} \right.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bài 2:
Do $D$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{ID}$, suy ra
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}\Rightarrow 2\overrightarrow{ID}+2\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$
$\Rightarrow \overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}$, điều này chứng tỏ $I$ là trong tâm của tam giác $BCD$.

1. $\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^kx^{40-k}\frac{1}{x^{2k}}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^kx^{40-3k}$.
Như vậy để tìm hệ số của $x^{31}$ ta đi tìm số $k$ sao cho $40-3k=31\Leftrightarrow k=3.$ Như vậy đáp số cần tìm là $C_{40}^3.$

Câu 2b em xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/116702/bat-phuong-trinh