|
|
giải đáp
|
Cực trị(tt).
|
|
|
|
Ta biết bài toán phụ sau đây. Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz.$
Đặt $a-b=x, b-c=y,c-a=z$ ta lập tức có
$$P=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3(a-b)(b-c)(c-a).$$
Mặt khác ta có thể giả sử $c=\min \{ a,b,c\}.$
+ Nếu $a \ge b \ge c\Rightarrow P \le 0.$
+ Nếu $b \ge a \ge c$ thì ta có $P=3xyz=-3(y+z)yz$ trong đó
$\begin{cases}z=b-c \ge 0 \\ y=c-a \le 0\\ z-y=a+b-2c =1-3c \le 1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0 \le z\le y+1 \\ -y \ge 0\\ 0 \le y+z\le 2y+ 1 \end{cases}$
Suy ra
$P=-3(y+z)yz \le -3y(2y+1)(y+1)$ với $-1 \le y \le 0.$
Khảo sát hàm số $f(y)=-3y(2y+1)(y+1)$ với $-1 \le y \le 0$ thì $\max P =\frac{1}{2\sqrt 3}$.
Xảy ra chẳng hạn khi $(a,b,c)=\left ( \frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 3},\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 3},0 \right )$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(ttt).
|
|
|
|
Em tự chứng minh BDT coi như bài tập nhé. Với $x,y,z >0$ thì $$(x+y+z)^3 \le 9(x^3+y^3+z^3).$$
Áp dụng ta được
$P^3 \le 9(3a+1+3b+1+3c+1)=9(3+3)=54\Rightarrow P \le 3\sqrt[3]{2}.$
Vậy $\max P =3\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải thích Định nghĩa
|
|
|
|
Lý do là hàm $F(x)$ không liên tục tại $x=0$. Thật vậy
$\lim_{x \to 0^-}F(x)=\lim_{x \to 0^-}e^{\sin x}=e^0=1$ trong khi đó
$\lim_{x \to 0^+}F(x)=\lim_{x \to 0^+}2\sqrt{1+x}=2 \ne 1.$
|
|
|
|
giải đáp
|
TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
|
|
|
|
c) Từ câu b suy ra $\overrightarrow{GI}=-5\overrightarrow{GK}$ và có đpcm.
|
|
|
|
sửa đổi
|
TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
|
|
|
|
b) $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{a}$. $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{AK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$. Suy ra$\bullet$ $\overrightarrow{IK}=
\overrightarrow{IA}+
\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$$\bullet$ $\overrightarrow{BK}=
\overrightarrow{BA}+
\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$$\bullet$ $\overrightarrow{GI}=
\overrightarrow{AI}-
\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{7}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}.$$\bullet$ $\overrightarrow{GK}=
\overrightarrow{AK}-
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{11}{15}\overrightarrow{b}.$
b) $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{a}$. $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{AK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$. Suy ra$\bullet$ $\overrightarrow{IK}=
\overrightarrow{IA}+
\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$$\bullet$ $\overrightarrow{BK}=
\overrightarrow{BA}+
\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$$\bullet$
$\overrightarrow{GI}=
\overrightarrow{AI}-
\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{5}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}.$$\bullet$
$\overrightarrow{GK}=
\overrightarrow{AK}-
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{15}\overrightarrow{b}.$
|
|
|
|
bình luận
|
TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Nếu bạn không gõ lại đề bài theo đúng quy tắc thì lỗi hệ thống sẽ k cho phép bạn nhìn thấy đáp án!
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
|
|
|
|
b)
$\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{a}$.
$3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow
\overrightarrow{AK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$.
Suy ra
$\bullet$ $\overrightarrow{IK}=
\overrightarrow{IA}+
\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$
$\bullet$ $\overrightarrow{BK}=
\overrightarrow{BA}+
\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}.$
$\bullet$
$\overrightarrow{GI}=
\overrightarrow{AI}-
\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{5}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}.$
$\bullet$
$\overrightarrow{GK}=
\overrightarrow{AK}-
\overrightarrow{AG}=\frac{2}{5}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{15}\overrightarrow{b}.$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức(ttt).
|
|
|
|
Ta có
$\frac{3}{2}x + \frac{6}{x} \ge 2\sqrt{\frac{3}{2}x . \frac{6}{x} }=6$
$\frac{5}{2}y + \frac{10}{y} \ge 2\sqrt{\frac{5}{2}y. \frac{10}{y} }=10$
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \ge \frac{1}{2}.4=2$
Cộng theo từng vế ba BDT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=2.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức(ttttt).
|
|
|
|
Đặt $a=\sqrt[4]{1-x}, b=\sqrt[4]{1+x}$ thì $a,b \ge 0$ và $a^2+b^2=2.$
Ta cần chứng minh $ab+a+b \le 3.$
Điều này không khó vì
$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2) =4\Rightarrow a+b \le 2$.
$2ab \le a^2+b^2=2\Rightarrow ab \le 1.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(ttttt).
|
|
|
|
Ta có
$x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x} \ge 3\sqrt[3]{x^2.\frac{1}{8x}.\frac{1}{8x}}=\frac{3}{4}\Rightarrow x^2+\frac{1}{4x} \ge \frac{3}{4} \quad (1)$.
Tuơng tự
$y^2+\frac{1}{4y} \ge \frac{3}{4}\quad (2)$
$z^2+\frac{1}{4z} \ge \frac{3}{4}\quad (3)$
Mặt khác
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z} \ge 6 \Rightarrow \frac{3}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ) \ge \frac{9}{2}\quad (4)$
Cộng theo từng vế (1),(2),(3),(4) ta được $A \ge \frac{27}{4}$.
Vậy $\min A=\frac{27}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$.
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 01/09/2013
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
CHỨNG MINH HỆ THỨC VECTƠ
|
|
|
|
a.
$\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IB}\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{IB}$. Điểm $I$ xác định bởi điều kiện: $B$ là trung điểm $AI$.
$3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow3\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow 5\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{AC}$. Điểm $K$ xác định bởi điều kiện: $K$ nằm trong đoạn $AC$ và $KC=\dfrac{3}{5}AC$.
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 31/08/2013
|
|
|
|
|
|
|
|