|
|
sửa đổi
|
Cực trị.
|
|
|
|
Tìm max bằng phương pháp hàm sốTa có $S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+1)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$Do đó $S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$
Tìm min, max bằng phương pháp hàm sốTa có $S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$Do đó $S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cực trị.
|
|
|
|
Tìm max bằng phương pháp dùng BĐT quen thuộc Áp dụng BĐT quen thuộc $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}, \forall a,b >0.$ Ta có $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{y+1} \ge \dfrac{4}{x+y+3}= \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow 1-\dfrac{1}{x+1} + 1-\dfrac{1}{y+1} \le 2- \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+1} \le \dfrac{2}{3}$ Vậy $\max A= \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$
Tìm max bằng phương pháp hàm sốTa có $S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+1)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$Do đó $S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$
|
|
|
|
bình luận
|
BDT
Ý em có phải như thế này không?
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
BDT
|
|
|
|
BDT $a + 4 /(b-1)^{2} *(a-b) &g t;=3$
BDT CMR . $a+ \frac{4 }{(b-1)^{2}(a-b) } \ge 5$ với $a\g e b.$
|
|
|
|
giải đáp
|
BDT
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
$a+\frac{1}{b(a-b)}=(a-b)+b+\frac{1}{b(a-b)} \ge 3\sqrt[3]{(a-b).b.\frac{1}{b(a-b)}}=3$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a-b=b=\frac{1}{b(a-b)}\Leftrightarrow a=2,b=1.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
BDT
|
|
|
|
BDT CMR a + 1 /b *(a-b) &g t;=3 Vs a &g t;=b
BDT CMR : $a+ \frac{1 }{b(a-b) } \g e 3 $ với $a \g e b .$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(tttt).
|
|
|
|
Phương pháp dùng BĐT cơ bản :
Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$
$A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$
$\bullet \quad$ $A = 1+1+t-2t^2=1+(1-t)(2t+1)\ge 1$ do $-\frac{1}{2}\le t \le \frac{1}{2}<1.$
$\bullet \quad$ $A = \frac{17}{8}-2\left ( t- \frac{1}{4}\right )^2\le \frac{17}{8}.$
$\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$
$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị.
|
|
|
|
Tìm min, max bằng phương pháp hàm số
Ta có
$S = \frac{y^2+y+x^2+x}{(x+1)(y+1)}=\frac{x^2+y^2+1}{xy+2}=\frac{(x+y)^2-2xy+1}{xy+2}=\frac{2-2xy}{xy+2}$.
Đặt $t=xy$ thì $t \in \left[ {0, \frac{1}{4}} \right]$ vì ta có bđt quen thuộc là $0 \le xy \le \frac{1}{4}(x+y)^2, \quad x,y \ge 0.$
Do đó
$S = f(t) = \frac{2-2t}{t+2}$ và $f'(t) = -\frac{6}{(t+2)^2}<0 ,\quad \forall t.$
Do đó $f$ là hàm nghịch biến nên
$f\left ( \frac{1}{4} \right ) \le S \le f(0) \Rightarrow \frac{2}{3} \le S \le 1.$
$\min S = \frac{2}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$
$\max S =1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow (x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cực trị(tt).
|
|
|
|
Phương pháp cổ điển em xem ở đây nhé http://toan.hoctainha.vn/Dang-Nhap?returnurl=http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113794/chung-minh-giup-minh
Phương pháp cổ điển em xem ở đây nhé http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113794/chung-minh-giup-minh
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cực trị(tttt).
|
|
|
|
Phương pháp hàm số :Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$ $A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$Ta có $f'(t) =1-4t$ nên $f'(t)=0 t = \frac{1}{4}.$Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm $f(t)$ trên $\left[ {-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ ta được $\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$
Phương pháp hàm số :Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$ $A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$Ta có $f'(t) =1-4t$ nên $f'(t)=0\Leftrightarrow t = \frac{1}{4}.$Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm $f(t)$ trên $\left[ {-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ ta được $\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(tttt).
|
|
|
|
Phương pháp hàm số :
Đặt $t=\sin x \cos x$ thì $-\frac{1}{2}\le t =\frac{1}{2}\sin 2x \le \frac{1}{2}.$
$A= (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x+\sin x \cos x+1=2-2t^2+t=f(t)$
Ta có $f'(t) =1-4t$ nên $f'(t)=0\Leftrightarrow t = \frac{1}{4}.$
Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm $f(t)$ trên $\left[ {-\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ ta được
$\min A =1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.$
$\max A =\frac{17}{8}\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(ttt).
|
|
|
|
Tìm min bằng phương pháp hàm số :
$P \ge
x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=t+\frac{9}{t}=f(t)$ trong đó $0<t=x+y+z \le \frac{3}{2}.$
Ta có $f'(t) =1-\frac{9}{t^2}=\frac{t^2-9}{t^2}<0\quad \forall 0<t \le \frac{3}{2}.$
Do đó $f(t) \ge f\left ( \frac{3}{2}\right )=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$
|
|
|
|
giải đáp
|
Cực trị(ttt).
|
|
|
|
Tìm min bằng phương pháp cổ điển :
$P \ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}=(x+y+z) + \dfrac{9}{4(x+y+z)}+\dfrac{27}{4(x+y+z)} \ge 2\sqrt{(x+y+z) . \dfrac{9}{4(x+y+z)}} + \dfrac{27}{4.\dfrac{3}{2}}=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$
$\min P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}.$
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 09/07/2013
|
|
|
|
|
|