Hiiển nhiên thấy rằng $x+y\le |x|+|y|$, do đó $\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$$=x+y\le |x|+|y|$ với mọi $x, y$.

Hiiển nhiên thấy rằng $x+y\le |x|+|y|$, do đó$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$$=x+y\le |x|+|y|$ với mọi $x, y$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x, y \ge 0$.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $2.\sqrt{a+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le a+ 1+ \frac{4}{3}$$2.\sqrt{b+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le b+ 1+ \frac{4}{3}$$2.\sqrt{c+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le c+ 1+ \frac{4}{3}$Suy ra$\frac{4}{\sqrt 3}\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right ) \le a+b+c+3+12=16$$\Rightarrow \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \le 4\sqrt 3$Như vậy bđt trên là sai với $a=b=c=1/3$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có $2.\sqrt{a+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le a+ 1+ \frac{4}{3}$$2.\sqrt{b+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le b+ 1+ \frac{4}{3}$$2.\sqrt{c+1}.\frac{2}{\sqrt 3}\le c+ 1+ \frac{4}{3}$Suy ra$\frac{4}{\sqrt 3}\left ( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right ) \le a+b+c+3+4=8$$\Rightarrow \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \le 2\sqrt 3 <3,5$

các bạn ơi,giải hộ mình bài này nhé.

tính $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}tg^{2n}xdx$,$n\in N $

Tích phân

Tích phân dạng tổng quát

Tính $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan^{2n}xdx$, $n\in \mathbb{N} $.

Tích phân

hình không gian

cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' đáy là tam giác đều . Mặt phẳng (A'BC) tạo vs đáy 1 góc 30* và tam giác A'BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối chóp

hình không gian

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' đáy là tam giác đều . Mặt phẳng (A'BC) tạo vs đáy 1 góc $30^\circ$ và tam giác A'BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ .

Thể tích khối chóp

Bài tập này là bài tập số $24$, sách bài tập Hình Học nâng cao $12$. Trong đó có hướng dẫn giải chi tiết, bạn tham khảo ở đó nhé.

Bài tập này là bài tập số $24$, sách bài tập Hình Học nâng cao $12$. Trong đó có hướng dẫn giải chi tiết, bạn tham khảo ở đó nhé.

Đặt$x=\frac{\cos B\cos C}{\cos A};y=\frac{\cos C\cos A}{\cos B};z=\frac{\cos A\cos B}{\cos C}$Trước hết bạn chứng minh công thức sau coi như bài tập nhé$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$Từ đây suy ra$\Rightarrow xy+yz+zx+2xyz=1$Từ hệ thức trên ta suy ra tồn tại các số $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ sao cho$x=\frac{\alpha }{\beta +\gamma };y=\frac{\beta }{\alpha +\gamma };z=\frac{\gamma }{\alpha +\beta }$Điều này xuất phát từ quan sát với mọi $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ thì$a$BĐT cần chứng minh tương đương với$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }}>2$Mặt khác đây là BĐT không khó vì$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}=\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha(\beta +\gamma) }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }$Từ đó$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\beta }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\gamma }{\alpha+\beta +\gamma }=2$Đẳng thức xảy ra $\iff \begin{cases}\alpha=\beta +\gamma \\ \beta=\alpha +\gamma \\ \gamma=\beta +\alpha \end{cases} \iff\alpha=\beta =\gamma=0$Đây là điều vô lý. Vậy ta có đpcm.

Đặt$x=\frac{\cos B\cos C}{\cos A};y=\frac{\cos C\cos A}{\cos B};z=\frac{\cos A\cos B}{\cos C}$Trước hết bạn chứng minh công thức sau coi như bài tập nhé$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$Từ đây suy ra$\Rightarrow xy+yz+zx+2xyz=1$Từ hệ thức trên ta suy ra tồn tại các số $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ sao cho$x=\frac{\alpha }{\beta +\gamma };y=\frac{\beta }{\alpha +\gamma };z=\frac{\gamma }{\alpha +\beta }$Điều này xuất phát từ quan sát với mọi $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ thì$\frac{\alpha }{\beta +\gamma }\frac{\beta }{\alpha +\gamma }+\frac{\beta }{\alpha +\gamma }\frac{\gamma }{\alpha +\beta }+\frac{\gamma }{\alpha +\beta }\frac{\alpha }{\beta +\gamma }+2\frac{\alpha }{\beta +\gamma }\frac{\beta }{\alpha +\gamma }\frac{\gamma }{\alpha +\beta }=1$BĐT cần chứng minh tương đương với$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }}>2$Mặt khác đây là BĐT không khó vì$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}=\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha(\beta +\gamma) }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }$Từ đó$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\beta }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\gamma }{\alpha+\beta +\gamma }=2$Đẳng thức xảy ra $\iff \begin{cases}\alpha=\beta +\gamma \\ \beta=\alpha +\gamma \\ \gamma=\beta +\alpha \end{cases} \iff\alpha=\beta =\gamma=0$Đây là điều vô lý. Vậy ta có đpcm.

chào mọi người!làm bài này nhé

cho A,B,C là 3 góc của 1 tam giác nhọnCMR: $\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosAcosC}{cosB}}>2$

Bất đẳng thức lượng giác

chào mọi người!làm bài này nhé

Cho $A,B,C$ là $3$ góc của $1$ tam giác nhọnCMR: $\sqrt{\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}+\sqrt{\frac{\cos B \cos C}{\cos A}}+\sqrt{\frac{\cos A \cos C}{\cos B}}>2$

Bất đẳng thức lượng giác

a) PT có nghiệm dương $\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \ge 0 \\ S=-\frac{b}{a}>0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m(m+3) \ge 0 \\ 2(m+1)>0 \\ 1-m>0\end{cases} \Leftrightarrow 1>m \ge 0$

c) PT có hai nghiệm đều âm$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\\Delta' \ge 0 \\ S=-\frac{b}{a}<0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne 0 \\12m+1 \ge 0 \\ -\frac{2m+1}{m}<0 \\ \frac{m-2}{m}>0\end{cases} \Leftrightarrow m>2$

Các điểm được ký hiệu như trên hình vẽ. Và ta cần chứng minh giao điểm $M, N$ là các trung điểm của $AB,DC$.Thật vậy theo định lý Talet$\frac{AM}{DN}=\frac{SA}{SA}=\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{AM}{CN}$Tóm lại $\frac{AM}{DN}=\frac{AM}{CN} \implies DN=CN$ hay $N$ là trung điểm $CD$.CHứng minh tương tự ta cũng có $M$ là trung điểm $AB$.

Các điểm được ký hiệu như trên hình vẽ. Và ta cần chứng minh giao điểm $M, N$ là các trung điểm của $AB,DC$.Thật vậy theo định lý Talet$\frac{AM}{DN}=\frac{SA}{SA}=\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{AM}{CN}$Tóm lại $\frac{AM}{DN}=\frac{AM}{CN} \implies DN=CN$ hay $N$ là trung điểm $CD$.CHứng minh tương tự ta cũng có $M$ là trung điểm $AB$.

b) Làm tương tự như các phần trên với phương pháp xét trên các khoảng $x \ge 1$, $-2 \le x <1$, $-4 \le x <-2, x \le -4$ ta được $\min y =5$ chẳng hạn tại $x=2$.Đây cũng là lý do mình không dùng bđt mà bạn nêu trên vì không muốn lo lắng dấu bằng xảy ra :)

b) Làm tương tự như các phần trên với phương pháp xét trên các khoảng $x \ge 1$, $-2 \le x <1$, $-4 \le x <-2, x \le -4$ ta được $\min y =5$ chẳng hạn tại $x=-2$.Đây cũng là lý do mình không dùng bđt mà bạn nêu trên vì không muốn lo lắng dấu bằng xảy ra :)

[X3] ANH TÂN giải LUÔN cho e mai e nộp bài r nhé

Cho hàm số y=\frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} -2x -2m - \frac{1}{3} (1) (m là tham số)Tìm m thuộc khoảng (0;\frac{5}{6}) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng x=0 , x=2, y=0 có diện tích bằng 4

Ứng dụng tích phân để...

[X3] ANH TÂN giải LUÔN cho e mai e nộp bài r nhé

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} -2x -2m - \frac{1}{3} (1)$ (m là tham số)Tìm $m$ thuộc khoảng $(0;\frac{5}{6})$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng $x=0 , x=2, y=0 $ có diện tích bằng $4$.

Ứng dụng tích phân để...

c) Các vecto ngược hướng$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ $\overrightarrow{AD}$ và $ \overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{IA}$ và $ \overrightarrow{IC}$ $\overrightarrow{IB}$ và $ \overrightarrow{ID}$

c) Các vecto ngược hướng$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ $\overrightarrow{AD}$ và $ \overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{IA}$ và $ \overrightarrow{IC}$ $\overrightarrow{IB}$ và $ \overrightarrow{ID}$

a) $(1+\frac{1}{1.3})(1+\frac{1}{2.4})...(1+\frac{1}{n(n+2)})<2 $ Chú ý $1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$. Do đó $(1+\frac{1}{1.3})(1+\frac{1}{2.4})...(1+\frac{1}{n(n+2)})=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}\cdots\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{2.(n+1)!^2}{n!.(n+2)!}=\frac{2}{n+2}<2 $

a) $(1+\frac{1}{1.3})(1+\frac{1}{2.4})...(1+\frac{1}{n(n+2)})<2 $ Chú ý $1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$. Do đó $(1+\frac{1}{1.3})(1+\frac{1}{2.4})...(1+\frac{1}{n(n+2)})=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}\cdots\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{2.(n+1)!^2}{n!.(n+2)!}=\frac{2(n+1)}{n+2}<2 $

Gọi $SO$ là đường cao của hình chóp thì $SO \perp (ABC)$ và $O \in mp(ABC).$Do các cạnh bên tạo với đáy góc $45^\circ$ nên từ định nghĩa góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng suy ra$\widehat{SAO}=\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=45^\circ$Do đó $SAO, SBO, SCO$ là các tam giác vuông cân nên $AO=BO=CO$ vì đều bằng $SO.$Từ đây suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông $ABC$ tại $C$ nên nó là trung điểm $BC$Kéo theo $SO=AO=\frac{1}{2}BC$Mặt khác tam giác vuông $ABC$ tại $C$ có $A=60^\circ$ nên $BC=\frac{AC}{\cos 60}=2a$Theo định lý Pytago ta tính được $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt 3$Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.\frac{1}{2}BC.AC=\frac{a^3\sqrt 3}{3}$ (đơn vị diện tích).

Gọi $SO$ là đường cao của hình chóp thì $SO \perp (ABC)$ và $O \in mp(ABC).$Do các cạnh bên tạo với đáy góc $45^\circ$ nên từ định nghĩa góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng suy ra$\widehat{SAO}=\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=45^\circ$Do đó $SAO, SBO, SCO$ là các tam giác vuông cân nên $AO=BO=CO$ vì đều bằng $SO.$Từ đây suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông $ABC$ tại $C$ nên nó là trung điểm $BC$Kéo theo $SO=AO=\frac{1}{2}BC$Mặt khác tam giác vuông $ABC$ tại $C$ có $A=60^\circ$ nên $BC=\frac{AC}{\cos 60}=2a$Theo định lý Pytago ta tính được $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt 3$Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.\frac{1}{2}BC.AC=\frac{a^3\sqrt 3}{3}$ (đơn vị diện tích).

a) Xét $x \ge 3$ thì $y=x-3+x+5=2x+2 \ge 8$Xét $3 > x > -5$ thì $y=3-x+x+5= 8$Xét $x \le -5$ thì $y=x-3-x-5=-2x -8 \ge 2$Vậy $\min y=8 \Leftrightarrow x=3$

a) Xét $x \ge 3$ thì $y=x-3+x+5=2x+2 \ge 8$Xét $3 > x > -5$ thì $y=3-x+x+5= 8$Xét $x \le -5$ thì $y=-x+3-x-5=-2x -2 \ge 8$Vậy $\min y=8 \Leftrightarrow x=-5$ hoặc $x=3$