b) $N=\cos(180^0-x)-2\sin(180^0-x)+\cos x+2\sin(90^0-x)=$
$-\cos x -2\sin x+\cos x+2\cos x=2\cos x- 2\sin x$

a) 
$M=\cos(90^0-x)+\sin(x+90^0)-\tan(180^0-x).\cot x=$
$\sin x+\sin(180^0-x-90^0)+\tan x.\cot x=$
$=\sin x+\sin(90^0-x)+1=\sin x+\cos x +1$ 

b) $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C- \frac{3}{2}=2\cos (A+B)\cos (A-B)+1-2\cos^2 C- \frac{3}{2}$
  $=-2\cos^2 C-2\cos C\cos (A-B)- \frac{1}{2} =-2\left[ {\cos^2 C+\cos C\cos (A-B)+ \frac{1}{4} \cos^2 (A-B)} \right]+\frac{1}{2} \cos^2 (A-B)- \frac{1}{2} $
$=-2\left ( \cos C+ \frac{1}{2}\cos (A-B) \right )^2+ \frac{1}{2}\left ( \cos^2 (A-B)-1 \right )\le 0$
 Từ đây suy ra đpcm.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

a) $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C- \frac{3}{2}=2\cos (A+C)\cos (A-C)+1-2\cos^2 B- \frac{3}{2}$
 $=-2\cos^2 B-2\cos B\cos (A-C)- \frac{1}{2} =-2\left[ {\cos^2 B+\cos B\cos (A-C)+ \frac{1}{4} \cos^2 (A-C)} \right]+\frac{1}{2} \cos^2 (A-C)- \frac{1}{2} $
$=-2\left ( \cos B+ \frac{1}{2}\cos (A-C) \right )^2+ \frac{1}{2}\left ( \cos^2 (A-C)-1 \right )\le 0$
 Từ đây suy ra đpcm.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

Điều kiện $x>0.$
       $\log _3 \frac{3}{x} .\log_2 x -\log _3 \frac{x^3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} +\log _2 \sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \left ( 1-\log_3 x \right ) .\log_2 x -\left (3\log_3 x-\log_3 3^\frac{1}{2} \right )= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log _2 x$
$\Leftrightarrow \left ( 1-\log_3 x \right ) .\log_2 x -\left (3\log_3 x- \frac{1}{2} \right )= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log _2 x$
$\Leftrightarrow \log_3 x .\log_2 x - \frac{1}{2}\log _2 x+3\log_3 x=0$
$\Leftrightarrow \frac{\ln x}{\ln 3} . \frac{\ln x}{\ln 2} - \frac{1}{2} \frac{\ln x}{\ln 2}+3 \frac{\ln x}{\ln 3}=0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\ln 3\ln 2}\ln^2 x+\ln x\left ( \frac{3}{\ln 3}-\frac{1}{2\ln 2}\right )=0$
PT này là PT bậc hai theo $\ln x$  có 2 nghiệm ,bạn tự giải tiếp nhé

b) Xét HPT sau
$\begin{cases}2x+3y-2z=m\\ 2x+y+3z=4 \\ 3x+4y-3z=6 \end{cases}$
Bằng phương pháp giải hệ ta có được kết quả
$\begin{cases}x=14-3m \\ y=3(m-4)\\z=m-4 \end{cases}$
Từ điều kiện $x,y,z \ge 0$ ta suy ra $4 \le m \le \frac{14}{3}$
Vậy
$\min 2x+3y-2z =4$ chẳng hạn khi $(x,y,z)=(2,0,0)$
$\max 2x+3y-2z =\frac{14}{3}$ chẳng hạn khi $(x,y,z)=(0,2,\frac{2}{3})$

d) $y=\sqrt{x+2+2 \sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2 \sqrt{x+1} }=\sqrt{x+1}+1+|\sqrt{x+1}-1|$
 Nếu $x \ge 0\Rightarrow y=\sqrt{x+1}+1+\sqrt{x+1}-1=2\sqrt{x+1} \ge 2$
 Nếu $0 >x \ge -1\Rightarrow y=\sqrt{x+1}+1-\sqrt{x+1}+1=2$
 Vậy $\min y=2$ chẳng hạn khi $x=0$.
 Trong trường hợp này việc sử dụng thành thạo phương pháp xét khoảng giá trị là điều cần thiết :)

b)
Làm tương tự như các phần trên với phương pháp xét trên các khoảng
 $x \ge 1$, $-2 \le x <1$, $-4 \le x <-2,  x \le -4$ ta được $\min y =5$ chẳng hạn tại $x=-2$.
Đây cũng là lý do mình không dùng bđt mà bạn nêu trên vì không muốn lo lắng dấu bằng xảy ra :)