Em xem ở đây

Đặt $ f\left( x \right) = p(x - a)(x - c) + q(x - b)(x - d) $
Nếu  $ p = q = 0 $:
Ta có:  $ f\left( x \right) = 0 $
Nếu $ p = 0;q \ne 0 $ : $ f\left( x \right) = q(x - b)(x - d) $
Phương trình  $ f\left( x \right) = 0 $ có 2 nghiệm: $ {x_1} = b;{x_2} = d $
Nếu $ q = 0;p \ne 0 $ : $ f\left( x \right) = p(x - a)(x - c) $
Phương trình  $ f\left( x \right) = 0 $  có 2 nghiệm : $ {x_3} = a;{x_4} = c $
Nếu  $ p \ne 0;q \ne 0 $
Ta có : $ f\left( b \right).f\left( d \right) = {p^2}(b - a)(b - c)(d - a)(d - c) < 0 $  $  \Rightarrow  $ phương trình có hai nghiệm  $ {x_1};{x_2} $ mà 1 nghiệm thuộc khoảng (b,d)
Đó là đpcm.

Điều kiện của nghiệm : $\left| x \right| \le 1$.
Biến đổi bất phương trình đã cho như sau:
$\begin{array}{l}
         4\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right) \le 8 - {x^2}\\
 \Leftrightarrow  - \left( {2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right) + 4\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right) - 4 \le {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} - 2\sqrt {1 - {x^2}}  + 1\\
 \Leftrightarrow  - {\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right)^2} + 4\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right) - 4 \le {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1} \right)^2}
\end{array}$
   $ \Leftrightarrow  - {\left[ {\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right) - 2} \right]^2} \le {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - 1} \right)^2}$ đúng với $\left| x \right| \le 1$

Vậy đáp số là : $\left| x \right| \le 1$

Đặt   $t=\tan x$. Khi đó $x_0 \in \left (k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi  \right ) \Leftrightarrow  t_0 \in (0;1)$. Bài toán trở thành: xét phương trình $f(t)=at^2+bt+c=0$ có ít nhất một nghiệm $t_0 \in (0;1)$
*  Nếu $a\neq  0,  c\neq 0$.  Ta có: $f(0). f(\frac{2}{3} )=c.\left ( \frac{4}{9}a+\frac{2}{3}b+c   \right )=\frac{c}{9}

(4a+6b+9c)$
                                                                    $=\frac{c}{9} \left[ {2(2a+3b+6c)-3c} \right]=-\frac{c^2}{3} <0 $
Vậy phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t_0\in \left ( 0,\frac{2}{3}\right ) $  tức có nghiệm thuộc khoảng  $(0;1)$
* Nếu $c=0$, lúc đó phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t_1=0, t_2=\frac{2}{3} $ tức có nghiệm $t_2=\frac{2}{3} 

$ thuộc khoảng $(0;1)$
* Nếu $a=0$ . Ta có: $\begin{cases}bt+c=0 \\ 3(b+2c)=0 \end{cases} $
  -Nếu $b=c=0$ rõ ràng phương trình $f(t)=0$ có vô số nghiệm tất nhiên có nghiệm trong khảng $(0;1)$.
  - Nếu $b\neq 0,  t=-\frac{c}{b}=\frac{1}{2} \in (0;1)  $
Tóm lại, $\forall a, b, c$ thỏa mãn $2a+3b+6c=0$ thì phương trình $f(t)=0$  có ít nhất một nghiệm $t_0 \in (0;1)$,  tức phương trình  $a\tan^2x+b\tan x+c=0$  có nghiệm  $x_0 \in \left (k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi  \right ) $ (đpcm).