Đường tròn (C) có tâm I(-2$\sqrt 3 $ ;0), bán kình R= 4
Giả sử (C’) có tâm I’, bán kính R’=2.
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4\sqrt 3 x - 4 = 0\\
x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  \pm 2
\end{array} \right.$

TH1: A(0;2). Phương trình đường thẳng IA :
 $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 3 t\\
y = 2t + 2
\end{array} \right.$, $I' \in IA$ => I’($2\sqrt 3 t;2t + 2$),  $\overrightarrow {AI}  = \frac{R}{{R'}}.\overrightarrow {I'A}  = 2.\overrightarrow {I'A}  \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow I'(\sqrt 3 ;3)$
$ \Rightarrow ({\rm{C'}}):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$

TH2: A(0;-2). Phương trình đường thẳng IA :
 $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 3 t\\
y = - 2t - 2
\end{array} \right.$, $I' \in IA$ => I’($2\sqrt 3 t; - 2t - 2$),  $\overrightarrow {AI}  = \frac{R}{{R'}}.\overrightarrow {I'A}  = 2.\overrightarrow {I'A}  \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow I'(\sqrt 3 ; - 3)$
$ \Rightarrow ({\rm{C'}}):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4$

Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn đề bài:
$(C{'_1}):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4;$
$(C{'_2}):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$

Bạn có thật sự muốn hỏi bài này không? Kết quả không "dễ chịu" chút nào!

Phương trình đường tròn (C): $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 2 = 0$ có tâm I(1, –2) ; $ R = \sqrt 3  $
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB cắt IM tại trung điểm H của đoạn AB.
Ta có  $ AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} $  Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB và H' là trung điểm của A'B'
Ta có:  $ IH' = IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {3 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{3}{2} $
Ta có:  $ MI = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}}  = 5 $
và  $ MH = MI - HI = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} $ ;     $ MH' = MI + H'I = 5 + \frac{3}{2} = \frac{{13}}{2} $
Ta có:     $ R_1^2 = M{A^2} = A{H^2} + M{H^2} = \frac{3}{4} + \frac{{49}}{4} = \frac{{52}}{4} = 13 $
                $ R_2^2 = MA{'^2} = A'H{'^2} + MH{'^2} = \frac{3}{4} + \frac{{169}}{4} = \frac{{172}}{4} = 43 $
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: $(x – 5)^2 + (y – 1)^2 = 13$  hay $(x – 5)^2 + (y – 1)^2 = 43$.

Em tham khảo tại đây

Bạn chú ý đây không phải là Toán của THPT

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{(\sin x+2\cos x)}{3\sin x+\cos x} dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }(1+\frac{3\cos x-\sin x}{3\sin x+\cos x} )dx$$=\frac{1}{2}\left[\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\frac{d(3\sin x+\cos x)}{3\sin x+\cos x} \right]$
$I=\frac{1}{2}[x+\ln (3\sin x+\cos x)]|_{0}^{\frac{\pi}{4} }=\frac{1}{2}[(\frac{\pi}{4}+\ln 2 {\sqrt{2}}  )-(0+\ln 1)]     $
$I=\frac{1}{8}(\pi+6\ln 2) $