2. Em xem tại đây

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\left[ {\left( {1 + \cos x} \right).\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) - \ln \left( {1 + \cos x} \right)} \right]} dx\)
\( = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx + } \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx - } \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + \cos x} \right)dx} \)
Đặt \(t = \frac{\pi }{2} - x \)
$\Rightarrow \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx= \int\limits_{\pi /2}^0 { - \ln \left( {1 + \cos t} \right)dt= }}\int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + \cos t} \right)dt )\\
\Rightarrow I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x.\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx} } \\
             =   \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d(1+\sin x)} $
Đặt $t$ = \(\left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\) thì \(I = \int\limits_1^2 {\ln t dt =(t\ln t-t)|^{2}_{1}= 2\ln 2 - 1} \) ,   (áp dụng tích phân từng phần).

Gợi ý:

Em xem ở đây