1. $y = \frac{x^2-2x+3}{x-1}=  \frac{(x-1)^2+2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}$
$y ' =1 -\frac{2}{(x-1)^2}$
$y '' =--\frac{2.2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{4}{(x-1)^3}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Nó sẽ là tốt hơn nếu như em biết thêm BĐT Trebusep và nó sẽ là trang bị khá tốt
http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_c%E1%BB%99ng_Chebyshev
Bởi vì đây là bài toán đặc trưng cho dạng Toán này. BĐT này tương đương với
$\frac{3a-1}{3^a}+\frac{3b-1}{3^b}+\frac{3c-1}{3^c} \le 0$
Bây giờ không mất tính tổng quát có thể giả sử $a\ge b \ge c$. Suy ra
$3a-1 \ge 3b-1 \ge 3c-1$ và
$\frac{1}{3^a}\le \frac{1}{3^b}\le \frac{1}{3^c}$
Như vậy đây là hai dãy ngược chiều nhau về tính tăng giảm suy ra
$\frac{3a-1}{3^a}+\frac{3b-1}{3^b}+\frac{3c-1}{3^c}\le \left ( 3a+3b+3c-3 \right )\left ( \frac{1}{3^a}+ \frac{1}{3^b}+ \frac{1}{3^c} \right )= 0$, đpcm.

Đặt $f(x)= x^2\sin ^{}x + x\cos x+1$ thì $f$ liên tục trên $\mathbb R$. Ta có
$f\left (0 \right )=1, f\left (\pi \right )=1-\pi<0\Rightarrow f\left ( 0 \right ).f\left ( \pi \right )<0$ nên PT $f(x)=0$ luôn có nghiệm trong $\left (0,\pi\right )$.

Đặt $f(x)= 2\sin ^{3}x + (m +1)\cos 5x-1$ thì $f$ liên tục trên $\mathbb R$. Ta có
$f\left ( \frac{\pi}{2} \right )=1, f\left (-\frac{\pi}{2} \right )=-1\Rightarrow f\left ( -\frac{\pi}{2} \right ).f\left ( \frac{\pi}{2} \right )<0$ nên PT $f(x)=0$ luôn có nghiệm trong $\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )$ và nói chung nó luôn có nghiệm.

2. $f'(x)=0\Leftrightarrow 2+2\sin x -\cos x-\sin x\cos x =0\Leftrightarrow (1+\sin x)(2-\cos x)=0.$
Đến đây đơn giản em tự giải nhé.

1.
$f'(x) =2+2\sin x -\cos x-1/2\sin 2x$
$f''(x) =2\cos x +\sin x-\cos 2x$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Với dạng này ta luôn có thêm Cách giải thứ hai :
Áp dụng BĐT Cô-si
$a^2 + \frac{1}{4} \ge a$
$b^2 + \frac{1}{4} \ge b$
$c^2 + \frac{1}{4} \ge c$
$d^2 + \frac{1}{4} \ge d$
cộng theo từng vế bốn BĐT này ta có
$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 1,$ đpcm.

PT $\Leftrightarrow 3x^2-9x+1=(x-2)^2\Leftrightarrow 3x^2-9x+1=x^2-4x+4\Leftrightarrow 2x^2-5x-3=0$
$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta dễ dàng chứng minh được
$C^0_n+C_1^n + \ldots +C_n^n = (1+1)^n=2^n$
$\Rightarrow C_1^n + \ldots +C_n^{n-1}=2^n-C^0_n-C^n_n=2^n-2$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$C^0_n.C_1^n \ldots C_n^n= C_1^n\ldots C_n^{n-1} \le \left ( \frac{C_1^n + \ldots +C_n^{n-1}}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{2^n-2}{n-1} \right )^{n-1}$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{cd+ac}+\dfrac{d^2}{ad+bd}$
$\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}$
Ta cần chứng minh
$\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd} \ge 2$
$\Leftrightarrow (a+b+c+d)^2 \ge 2\left ( ab+bc+cd+da+2ac+2bd \right )$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 2ac+2bd$, hiển nhiên đúng.