Đặt $f(x)=m\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2x-5$.
Ta có $f(1)=-3, f(3)=1\Rightarrow f(1).f(3)<0$.
Do hàm $f$ liên tục nên PT $f(x)=0$ luôn có nghiệm thuộc $(1,3)$ nên nói chung nó có nghiệm trên $\mathbb R.$

Đặt $f(x)=x^3+3x-2-m.$
Do $2<m<34$ nên ta có  $f(1)=2-m<0$ và $f(3)=34-m>0$.
Suy ra $f(1).f(3)<0\Rightarrow $ pt luôn có nghiệm thuộc khoảng $(1,3)$, do tính liên tục của hàm $f$.

Các bước em làm giống ở đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/116643/ham-so-lien-tuc

Tính

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3x+5}}{x-1}=0$
em xem tương tự tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/116663/dang-vo-dinh-tt


Đáp số $a=-1.$

Do $x \to+\infty$ nên ta có $1-2x <0$ suy ra
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to+\infty}\left(1-2x\right)\sqrt{\dfrac{3x-11}{x^3+1}}=-\mathop {\lim }\limits_{x \to+\infty}\sqrt{\dfrac{(3x-11)\left(1-2x\right)^2}{x^3+1}}$
$L=-\mathop {\lim }\limits_{x \to+\infty}\sqrt{\dfrac{(3-\dfrac{11}{x})\left(\dfrac{1}{x}-2\right)^2}{1+\dfrac{1}{x^3}}}=-\sqrt{\dfrac{3.4}{1}}=-3$

$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{\sqrt[3]{8x+11}-3}{x^2-3x+2}-\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x^2-3x+2}$
$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{8}{(x-1)\left ( \sqrt[3]{(8x+11)^2}+3\sqrt[3]{8x+11}+9 \right )}-\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\dfrac{1}{(x-1)(\sqrt{x+7}+3)}$
$L=\dfrac{8}{9+9+9}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{54}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a)
Ta có
$f(1)=\dfrac{1^3}{3}-3a+\dfrac{4}{3}=-3a+\dfrac{5}{3}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}\left (\dfrac{x^3}{3}-3ax+\dfrac{4}{3} \right )=-3a+\dfrac{5}{3}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\dfrac{x^2-3x+2}{x^3-x^2+2x-2}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x^2+2)}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}\dfrac{(x-2)}{(x^2+2)}=-\dfrac{1}{3}.$
Để hàm liên tục tại $x=1$
$\Leftrightarrow f(1)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}f(x)$
$\Leftrightarrow -3a+\dfrac{5}{3}=-\dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}.$

Hiển nhiên nếu $a=b$ thì đẳng thức trên luôn đúng. Với trường hợp $a\ne b$ thì ta cho $x= \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \ne 1$ vào đẳng thức ban đầu. Ta có
$ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}=\dfrac{\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\left ( \dfrac{a}{b}-1 \right )}{ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}-1}$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}=\dfrac{{\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}}.\dfrac{a-b}{b}}{{\dfrac{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}{ \sqrt[n]b}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{b}{\sqrt[n]a}\left ( \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}\right )=\dfrac{a-b}{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+  ...  +\sqrt[n]{a^{n-k}b^{k-1}}  +  ... +\sqrt[n]{ab^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}=\dfrac{a-b}{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}$
$\Leftrightarrow $ đpcm.

Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/105434/bai-105434

  Trong ba công thức mà bạn vừa đề cập thì đều không được nêu ra trong sách giáo khoa, vì thế bạn đều phải làm lại các thao tác trong bài thi của mình, tức là không được áp dụng một cách trực tiếp. Nếu cần thiết bạn có thể đặt vấn đề trước khi trình bày ví dụ như : Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau... Bạn cần phát biểu và có thể chứng minh ngắn gọn các công thức trên sau đó thì ta có thể thoải mái áp dụng.

  Ngoài ra ở công thức hai bạn đã có một chút thiếu sót, và ở cả ba công thức thì ta chỉ xét dưới dạng nguyên hàm và có thêm cộng hằng số phía sau kết quả cũng như nên bỏ đi các cận.

 

1. Nếu câu 1 đúng đề bài thế này, ta xử lý rất đơn giản
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\left(x+1\right)\sqrt{\dfrac{2x+1}{x^3+x+2}}=\left(1+1\right)\sqrt{\dfrac{2+1}{1^3+1+2}}=\sqrt 3.$

Em xem tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114993/tich-phan-13

a) Hàm số dạng phân thức liên tục khi mà $x$ là các giá trị làm cho mẫu khác $0$.
Như vậy $x \ne -5, x\ne -2.$ Hay viết cách khác $(-\infty,-5) \cup (-5,-2) \cup (-2, +\infty).$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$2009^{2010} + 2009^{2009}= 2009^{2009}\left ( 2009^1+1 \right )=2009^{2009}.2010<2010^{2009}.2010=2010^{2010}$
Vậy $2009^{2010} + 2009^{2009}<2010^{2010}.$