Bài toán khó hơn vẻ bề ngoài của nó , lời giải chỉ mang tính chất tham khảo cho những ai muốn tham khảo
Gọi $A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2)$ là hai điểm cần tìm , khi đó
$AB$ vuông góc với $d$ và khoảng cách từ $A , B$ đến $d$ bằng nhau
Vì vector pháp tuyến của $d:x-y-1=0$ là $(1,-1)$
nên vector $\overrightarrow{AB} (x_2-x_1 , y_2-y_1)//(1,-1)$
$\Rightarrow x_2-x_1+y_2-y_1=0$
$\Rightarrow x_2+y_2=x_1+y_1$
$\Rightarrow x_2+\frac{x_2^2}{x_2-1}=x_1+\frac{x_1^2}{x_1-1}$
$\Rightarrow \frac{2x_2^2-x_2}{x_2-1}=\frac{2x_1^2-x_1}{x_1-1}$
$\Rightarrow (2x_2^2-x_2)(x_1-1)=(2x_1^2-x_1)(x_2-1)$
$\Rightarrow 2x_2^2.x_1-2x_2^2-x_1.x_2+x_2=2x_1^2.x_2-2x_2^2-x_1.x_2+x_1$
$\Rightarrow 2x_1x_2(x_2-x_1)-2(x_2-x_1)(x_2+x_1)+(x_2-x_1)=0$
$\Rightarrow (x_2-x_1)(2x_1x_2-2x_1-2x_2+1)=0$
$\Rightarrow 2x_1x_2-2(x_1+x_2)+1=0 (1)$
Khoảng cách từ $A,B$ đến $d$ bằng nhau và bằng
$\frac{|x_1-y_1-1|}{\sqrt2}=\frac{|x_2-y_2-1|}{\sqrt2}$
$\Rightarrow |x_1-y_1-1|=|x_2-y_2-1|$
Do $x_1+y_1=x_2+y_2$ nên $x_1-y_1$ không thể bằng $x_2-y_2$ được
Vậy $(x_1-y_1-1)+(x_2-y_2-1)=0$
$\Rightarrow x_1-y_1+x_2-y_2=2$
$\Rightarrow x_1-\frac{x_1^2}{x_1-1}+x_2-\frac{x_2^2}{x_2-1}=2$
$\Rightarrow \frac{-x_1}{x_1-1}+\frac{-x_2}{x_2-1}=2$
$\Rightarrow \frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=-4$
$\Rightarrow x_1-1+x_2-1=-4(x_1-1)(x_2-1)$
$\Rightarrow x_1+x_2-2=-4x_1x_2+4x_1+4x_2-4$
$\Rightarrow 4x_1x_2-3(x_1+x_2)+2=0 (2)$
từ $(1) , (2)\Rightarrow x_1+x_2=0 , x_1x_2=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow (x_1,x_2)=(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2})$
Hai điểm cần tìm là $A(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2-2}) , B(-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{-\sqrt2-2})$