Lại đặt $z=a+bi$
$|z+1-5i|=|\overline{z}+3-i| $
$\Leftrightarrow |a+1+(b-5)i|=|a+3-(b+1)i|$
$\Leftrightarrow (a+1)^2+(b-5)^2=(a+3)^2+(b+1)^2$
$\Leftrightarrow a^2+2a+1+b^2-10b+25=a^2+6a+9+b^2+2b+1$
$\Leftrightarrow 2a-10b+26=6a+2b+10$
$\Leftrightarrow 4a+12b-16=0$
$\Leftrightarrow a+3b-4=0$
Khi đó
$|z-4-10i|=|a-4+(b-10)i|$
$=\sqrt{(a-4)^2+(b-10)^2}$
Module này nhỏ nhất khi $(a-4)^2+(b-10)^2$ nhỏ nhất
Thay $a=4-3b$ ta có
$(a-4)^2+(b-10)^2=9b^2+b^2-20b+100=10b^2-20b+100$
$=10(b^2-2b+10)=10((b-1)^2+9) \ge 90$
Dấu bằng có khi $b=1\Rightarrow a=1\Rightarrow z=1+i$