Bạn cố gắng vẽ đồ thị nhé , nhìn đồ thị sẽ rất dễ làm , mình không có phần mềm nên không thể vẽ ở đây được
Ta thấy rằng $f(x)=y=x^3+3x^2+3x+2\Rightarrow f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2$
Do đó , nếu tiếp tuyến tại $M , N$ song song thì $(x_M+1)^2=(x_N+1)^2\Rightarrow x_m+1=-(x_N+1)\Rightarrow x_M+x_N=-2$
Khi đó $y_M+y_N=(x_M+1)^3+1+(x_N+1)^3+1=2$
Vậy $M, N $ đối xứng với nhau qua $(-1,1)$
Bây giờ ta sẽ lập PT đường thẳng đi qua $(-1,1)$ cắt $Oy , Ox$ tại $A(0,y_A), B(x_B,0)$ thỏa mãn bài toán
Theo PT đoạn chắn $d:\frac{y}{y_A}+\frac{x}{x_A}= 1$ đi qua $(-1,1)\Rightarrow \frac{1}{y_A}-\frac{1}{x_A}=1$
Diện tích $OAB=\frac{8}{3}\Rightarrow y_A.x_A=-\frac{16}{3}$
Từ đây tìm được $y_A=4 , x_A=-\frac{4}{3}$ hoặc $y_A=\frac{4}{3} , x_A=-4$
Có hai đường thẳng là $d_1 :y-3x-4=0 $ , $d_2: 3y-x-4=0$
TH1: $M , N$ là giao điểm của $d_1$ và $f(x)$
$y=3x+4=(x+1)^3+1\Rightarrow (x+1)^3=3(x+1)\Rightarrow (x+1)^2=3$
$\Rightarrow x=\sqrt3-1 , x=-\sqrt3-1$
Tương ứng hai điểm là $(\sqrt3-1 , 3\sqrt3+1) $ và $(-\sqrt3-1 , -3\sqrt3+1)$
TH2 : $M, N$ là giao điểm của $d_2$ và $f(x)$
$y=\frac{x+4}{3}=(x+1)^3+1\Rightarrow \frac{x+1}{3}=(x+1)^3\Rightarrow(x+1)^2=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt3}-1 , x=-\frac{1}{\sqrt3}-1$
Tương ứng hai điểm là $(\frac{1}{\sqrt3}-1, \frac{1}{3\sqrt3}+1)$ và $(-\frac{1}{\sqrt3}-1 , -\frac{1}{3\sqrt3}+1)$