BÀI 1:

a/ BC vuông góc với  AB, BC vuông góc với  SA => BC vuông góc với  (SAB)
b/ Do  BC vuông góc với  (SAB)=> BC vuông góc với AB'
Mà AB' vuông góc với SB
=> AB' vuông góc với (SBC)
c/  Do  BC vuông góc với  (SAB)=> BC vuông góc với SB => $\Delta$B'BC là tam giác vuông tịa B => B', B, C nằm trên đường tròn tâm G là trung điểm của B'C bán kính bằng 1/2B'C (1)
Do AB' vuông góc với  (SBC)=> AB' vuông góc với SC
Mà SC lại vuông góc với AC'
=> SC vuông góc với  (AB'C')=> SC vuông góc với B'C' => $\Delta$CC'B' là tam giác vuông tại C' => C, C', B' nằm trên đường tròn (G, 1/2B'C)  (2)
(1)(2)=> C,B, B', C' nằm trên cùng một đường tròn
Vậy CBB'C' là tứ giác nội tiếp 

BÀI 2:

ABC. A'B'C' là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng a => lăng trụ ABC. A'B'C' cũng là lăng trụ đứng
Gọi I là trung điểm của B'C'
Dễ dàng chứng minh được B'M vuông góc với BI  (1)
Lại có: A'I vuông góc với B'C', A'I vuông góc với BB' => A'I vuông góc với (BCC'B')
=> A'I vuông góc với B'M  (2)
(1)(2)=> B'M vuông góc với (BIA')=> B'M vuông góc với BA' 

BÀI 3:

a/ BD vuông góc với AC (2 đường chéo trong hình vuông vuông góc với nhau) 
BD vuông góc với SA do SA vuông góc vứoi đáy
=> BD vuông góc với (SAC) (1)
Dễ dàng chứng minh được SB'= SD'
=> $\frac{SB'}{SB}=\frac{SD'}{SD}$=> B'D'// BD (2) 
(1)(2)=> B'D' vuông góc với (SAC)
b/ BC vuông góc với  AB, BC vuông góc với  SA=> BC vuông góc với  (SAB)=> BC vuông góc với  AB', mà AB' vuông góc với  SB=> AB' vuông góc với  SC (3)
DC vuông góc với  AD, DC vuông góc với  SA=> DC vuông góc với  (SAD)=> DC vuông góc với  AD', mà AD' vuông góc với  SD=> AD' vuông góc với   SC (4)
Theo giả thiết: AC' vuông góc với  SC  (5)
(3)(4)(5)=> AB', AC', AD' đồng phẳng
hay A, B', C', D' đồng phẳng
c/ AB' vuông góc với  (SBC)=> AB' vuông góc với  B'C' => $\Delta$AB'C' vuông tại B' => A, B', C' nằm trên đường tròn tâm I là trung điểm của AC' bán kính bằng 1/2AC'
Tương tự: A, D'C' nằm trên đường tròn (I, 1/2AC')
Vậy AB'C'D' nội tiếp 

BÀI 4:

a/ Gọi I là trung điểm của BA
Ta có $\Delta$BIC vuông tại B => $CI^{2}= BI^{2}+BC^{2}$ =$\frac{5a^{2}}{4}$
SI là trung tuyến trong tam giác SAB đều cạnh a=> SI= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ => $SI^{2}$= $\frac{3a^{2}}{4}$
Mặt khác: SC= a$\sqrt{2}$=> $SC^{2}= 2a$ 
Ta thấy:  $CI^{2}$+ $SI^{2}$= $SC^{2}$ => $\Delta$SIC vuông tại C => SI vuông góc với IC, mà SI vuông góc với BA => SI vuông góc với (ABCD)
Hai mp (SBA) và mp (ABCD) có chung tuyến là AB mà có SI vuông góc với (ABCD) theo chung tuyến AB => (SBA) vuông góc với (ABCD)
b/  Có AC vuông góc với BD=> AC vuông góc với IK
Mà AC vuông góc với SI do SI vuông góc với (ABCD) 
=> AC vuông góc với (SIK)=> AC vuông góc với SK
CM tương tự với ý còn lại 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

3/ Gọi I là trung điểm của SC. Ta sẽd chứng minh I cách đều 5 điểm S, A,B, C, D
$\Delta$ SBC, $\Delta$ SAC, $\Delta$ SDC là các tam giác vuông => IS= IC=IB=IA=ID= 1/2 SC
Như vậy, I cách đều 5 điểm S, A,B, C,D. 

2/ BC vuông góc với mp(SAB) => BC vuông góc với AH, MÀ AH vuông góc với SB => AH vuông góc với mp(SBC)=> AH vuông góc với SC(1)
DC vuông góc với mp(SAD) => DC vuông góc với AE, MÀ AE vuông góc với SD => AE vuông góc với mp(SDC)=> AE vuông góc với SC (2)
Theo giả thiết AK vuông góc với SC (3) 
(1)(2)(3)=> AE, AK, AH cùng nằm trên mp vuông góc với SC 
=> A, E, K, H đồng phẳng (đpcm) 

1/ SA vuông góc với đáy
=> SA vuông góc với AB => $\Delta$SAB là tam giác vuông
SA vuông góc với AD => $\Delta$SAD là tam giác vuông 
SA vuông góc với BC mà BC vuông góc với AB => BC vuông góc với mp(SAB) => BC vuông góc với SB => $\Delta$ SBC là tam giác vuông
SA vuông góc với DC mà DC vuông góc với AD => DC vuông góc với mp(SAD) => DC vuông góc với SD => $\Delta$ SDC là tam giác vuông 

Xét $\Delta$A'AC vuông tại A => $AC^{2}= (3a)^{2}- (2a)^{2}= 5a^{2}$
Xét $\Delta$ABC vuông tại B => $BC^{2}= 5a^{2}- a^{2}= 4a^{2}$ => BC= 2a
Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho B trùng gốc tọa độ, BA trùng Ox, BC trùng Oy, BB' trùng Oz
Khi đó tọa độ các điểm là: B(0,0,0), A'(a, 0, 2a), C(0, 2a, 0), A(a, 0,0), M(a/2, a, 2a)
=> $\overrightarrow{AM}$ (-a/2, a, 2a)= (-1,2,4) => Phương trình AM  $\begin{cases}x= a-t_{1} \\ y=2t_{1}\\z=4t_{1} \end{cases}$
$\overrightarrow{A'C}$ (-a, 2a, -2a)= (1,-2,2) => Phương trình A'C  $\begin{cases}x= t_{2} \\ y= 2a-2t_{2}\\z=2t_{2} \end{cases}$
Có: I= AM$\cap $A'C => Tọa độ I thỏa mãn : $\begin{cases}a-t_{1}= t_{2} \\  2t_{1}=2a-2t_{2}\\4t_{1}=2t_{2} \end{cases}$ => $\begin{cases} t_{1}= a/3\\ t_{2}= 2a/3 \end{cases}$
=> I(2a/3, 2a/3, 4a/3)
Lại có phương trình mp(A'AB) là: y=0
=> d(I, (A'AB)) = $\frac{\left| {2a/3} \right|}{\sqrt{1}}$= 2a/3
Mà: $S_{A'AB}$ = 1/2. AA'. AB= $a^{2}$
=> $V_{IAA'B}$= 1/3.  d(I, (A'AB)) . $S_{A'AB}$ = $\frac{2a^{2}}{9}$

Trong cấp số cộng thì 1 số bằng trung bình cộng 2 số liền kề
=> a= $\frac{-1+3}{2}$= 1
Khi đó: 3= $\frac{1+b}{2}$ => b=5 

c/

b/ Ý tưởng chứng minh: Để chứng minh 2 mp vuông góc với nhau ta chứng minh trong 2 mp đó chứa 2 cặp cạnh vuông góc với nhau.
+) Chứng minh: (SAB) vuông góc với  (SAD)
AB vuông góc với  AD, AB vuông góc với  SA => AB vuông góc với  (SAD)=> AB vuông góc với  SD (1)
AD vuông góc với  AB, AD vuông góc với  SA => AD vuông góc với  (SAB)=> AD vuông góc với  SB  (2)
(1)(2) =>  (SAB) vuông góc với  (SAD)
+)  Chứng minh: (SAC) vuông góc với  (SCD) tương tự như trên
gợi ý : 

a/ (SAB) vuông góc với mp (ABCD)
(SAD) vuông góc với mp(ABCD)
=> đường vuông góc chung của 2 mp(SAB) và mp(SAD) là SA vuông góc với (ABCD)   (đpcm) 

c/ Trong mp(ABB'A'), kẻ MG//PN (G$\in $BB')
Khi đó: MPNG chính là thiết diện của (MNP) với hình hộp
Ta có: MPNG là hình bình hành (vì dễ dàng chứng minh được MG=PN)

P/S: lời giải này được áp dụng cho chương trình lớp 12!