Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b/ $\Delta$SAG vuông tại G => tan SAG= SG/AG= $\frac{a.\sqrt{\frac{90}{23}}.tan72^{0}}{2a}= \sqrt{\frac{45}{46}}. tan72^{0}$=> SAG= $71,8^{0}$ hay $\widehat{SAD}$=$71,8^{0}$
 Tương tự tính được góc SBC (hay chính là góc SBN) do ta tính SN, BN=> tan SBN

Gọi G là trung điểm của AD

tanDGC= DC/DG= 1/2
tanAGB= AB/AG= 2
=> tan DGC. tan AGB=1
=> 2 góc này phụ nhau=> BGC là góc vuông
=> GN là đường cao trong tam giác BGC vuông tại G
=> $\frac{1}{GN^{2}}=\frac{1}{GC^{2}}+\frac{1}{GB^{2}}$
=> GN= a.$\sqrt{\frac{90}{23}}$
$\Delta$SGN vuông tại G => SG= GN. tanSNG= a.$\sqrt{\frac{90}{23}}$. tan72
Lại có: $S_{đáy}$= 1/2. (AB+DC).AD= $10a^{2}$
=> $V_{SABCD}$= 1/3. SG. $S_{đáy}$= $\frac{10\sqrt{10}.tan72^{0}}{23}. a^{3}$

Gọi G và N  lần lượt là trung điểm của AB, CD
Vì $\Delta$SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp đáy => SG vuông góc với mp(ABCD)
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho G trùng với gốc O , GN trùng với Ox, GB trùng với Oy, GS trùng với Oz
Khi đó tọa độ các điểm là: M(a/2, a/2, 0); K(0,a/4, $\frac{a\sqrt{3}}{4}$) ; A(0, -a/2, 0); P(a/2, -a/4,$\frac{a\sqrt{3}}{4}$ )
Vậy khoảng cách giữa MK và AP là: h= $\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{MK}, \overrightarrow{AP}} \right].\overrightarrow{MA}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{MK},\overrightarrow{AP}} \right]} \right|}$ = $\frac{3a}{2\sqrt{5}}$

3/ BD vuông góc với AC (2 đường chéo trong hình vuông)
BD vuông góc với CC' (CC' vuông góc với mp(ABCD))
=> BD vuông góc với mp(ACC')
=> BD vuông góc với AC' 

4/ Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho A' trùng gốc tọa độ, A'B' trùng Ox, A'D' 

$\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{MN}$ = (a-x).1+(-a).1+(-x).(-1)=0
=> AC' vuông góc với MN 

6/ Có AC= AB'= AD'= CB'= CD'= B'D' vì cùng là đường chéo trong hình vuông cạnh a
=> Tứ diện ACB'D' là tứ diện đều 

5/ Có A'C' là đường chéo trong hình vuông cạnh a => A'C' =$a\sqrt{2}$
Có AA' vuông góc với mp(A'B'C'D') => AA' vuông góc với A'C' => AA'C' là tam giác vuông tại A' => AC'= $\sqrt{AA'^{2}+A'C'^{2}}$=  $\sqrt{(a)^{2}+(a\sqrt{2})^{2}}$= $a\sqrt{3}$

TH1: Có 1 cán bộ lớp thì có số cách chọn là: $C^{1}_{2}. C^{2}_{18}$= 306 cách
TH2: Có 2 cán bộ lớp thì có số cách chọn là: $C^{2}_{2}. C^{1}_{18}$= 18 cách
Vậy số cách chọn thỏa mãn là: 306+18= 324 cách 

Gọi tọa độ D là (x,y,z)
$\overrightarrow{AB}$(-1,-1,5) 
$\overrightarrow{DC}$ (3-x, -1-y, 1-z)
ABCD là hình thang có AB//CD
=> $\frac{3-x}{-1}=\frac{-1-y}{-1}= \frac{1-z}{5}=k$ 
=> Tọa độ của D $\begin{cases}x= 3+k \\ y=-1+k\\z=1-5k \end{cases}$ 
=> $\overrightarrow{AD}$(1+k, k-2, 3-5k); $\overrightarrow{BC}$(2, -1, -2)
Có: AD=BC => $\sqrt{(1+k)^{2}+(k-2)^{2}+(3-5k)^{2}}= \sqrt{9}$ 
=> k= 5/27 hoặc k=1 (loại vì khi đó AD//BC)
Vậy tọa độ của D là: D(86/27, -22/27, 2/27) 

Theo giả thiết a, b,c >0
Có: $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=>  $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$+ $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$= 2. $\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$
=> $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}= \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$ 
=> $2. (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})= (\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}) $
=> $2\sqrt{ab}+2b+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}= a+\sqrt{ac}+ 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+ \sqrt{ac}+c$
=> 2b= a+c
Như vậy, a, b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Chứng minh chiều ngược lại tương tự. 

Ta có: $\frac{2}{b-a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{2}{b-c}$ lập thành một cấp số cộng
=>  $\frac{2}{b-a}$+ $\frac{2}{b-c}$= 2.$\frac{1}{b}$
=>  $\frac{1}{b-a}$+ $\frac{1}{b-c}$= $\frac{1}{b}$
=> $\frac{b-c+b-a}{(b-a)(b-c)}= \frac{1}{b}$ 
=> (2b-c-a).b= (b-a). (b-c)
=> 2. $b^{2}$- bc-ab= $b^{2}$- ab- bc+ ac
=> $b^{2}$= ac
Như vậy, a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 

f/ Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (1,1,1)
$\overrightarrow{DC}$(-3, -6,6)
=> $\frac{1}{-3}\neq \frac{1}{-6}\neq \frac{1}{6}$
=> AB không song song với DC => ABCD không thể là hình bình hành 

e/ Goi G là trọng tâm $\Delta$ABC=> Tọa độ G thỏa mãn hệ:
$\begin{cases}x= \frac{1+2+1}{3}\\ y=\frac{0+1-1}{3}\\ z=\frac{1+2+1}{3} \end{cases}$ 
=> Tọa độ của G là: (4/3, 0, 4/3) 

d/ Gọi O là trọng tâm hình bình hành ABCC' => O là trung điểm của AC=> Tọa độ O thỏa mãn:
$\begin{cases}x= \frac{1+1}{2}\\ y=\frac{0-1}{2}\\z=\frac{1+1}{2} \end{cases}$ 
=> Tọa độ O là (1, -1/2, 1)