Gắn hình vẽ vào trong hệ trục tọa độ sao cho D trùng với gốc tọa độ, DA trùng Ox, DC trùng Oy, DS trùng Oz
Khi đó tọa độ các điểm như sau: D(0,0,0); A(a,0,0), B(a,a,0), C(0,2a,0),S(0,0,a)
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ASBC
Khi đó $\overrightarrow{AI}$ (x-a,y,z)
 $\overrightarrow{BI}$ (x-a,y-a,z)
$\overrightarrow{CI}$ (x,y-2a,z)
$\overrightarrow{SI}$ (x,y,z-a) 
Có AI=BI => $y^{2}=(y-a)^{2}$ 
AI=CI => $(x-a)^{2}+y^{2}= x^{2}+(y-2a)^{2}$ 
AI=SI => $(x-a)^{2}+z^{2}= x^{2}+(z-a)^{2}$  
=> x= -3a/8; y=a/2; z=-3a/8
=> AI= $\sqrt{\frac{146a^{2}}{64}}$ 

+/ Theo chứng minh trên, BC vuông góc với (SAB) => BC vuông góc với AH
Mà AH vuông góc với SB
=> AH vuông góc với (SBC)
=> AH vuông góc với SC 

+/ $\Delta$SAC vuông tại A => SA vuông góc với AC, mà SA vuông góc với AB => SA vuông góc với (ABC) => BC vuông góc vứoi SA
Mà BC vuông góc vứoi AB
=> BC vuông góc với (SAB) => BC vuông góc với SB => $\Delta$SBC vuông tại B 

3/ Mình sửa lại đề bài như sau, bạn xem lại xem có đúng không nhé Chứng minh: AD' vuông góc với CB' chứ không phải là CD' (chắc bạn nhầm thôi)
Có DCB'A' là hình chữ nhật => CB' //DA', mà AD' vuông góc với DA'
=> AD' vuông góc với CB' 

2/ Có BC song song và bằng A'D' => BCD'A' là hình bình hành => CD'//BA'
Mà AB' vuông góc với BA'
=> AB' vuông góc với CD' 

1/ B'D' vuông góc với A'C', B'D' vuông góc với AA' => B'D' vuông góc với (ACC'A') => B'D' vuông góc với AC

a/ BD vuông góc với AC, BD vuông góc với AA' => BD vuông góc với (ACC'A')
=> BD vuông góc ới AC' 

b/ Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho A' trùng với gốc tọa độ, A'B' trùng Ox, A'D' trùng Oy, A'A trùng Oz
Khi đó, tọa độ các điểm là: A' (0,0,0), C(a,a,a), N(a,0,a/2), M(0,a/2,a)
=> $\overrightarrow{A'C}$(a,a,a); $\overrightarrow{MN}$(a,-a/2,-a/2)
=>  $\overrightarrow{A'C}$. $\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{0}$
=> A'C vuông góc với MN 

b/ Gắn hình vẽ vào trong hệ truch tọa độ sao cho A' trùng với gốc tọa độ A'B' trùng Ox, A'D' trùng Oy, A'A trùng Oz
Khi đó tọa đọ các điểm là: A'(0,0,0), D'(0,a,0), B'(a,0,0), M(a,3a/4,a), D(0,a,a)
Ta có: vector pháp tuyến của mp(DCC'D') là $\overrightarrow{A'D'}$(0,a,0)= (0,1,0)
 vector pháp tuyến của mp(DMB') là tích có hướng của hai vector$\overrightarrow{DM}$ và vector $\overrightarrow{MB}$ là (-1,-4,3)
Khi đó, gọi X là góc giữa 2 mp(DMB') và mp(DCC'D')
cosX= $\frac{\left| {0.(-1)+1.(-4)+0.3} \right|}{\sqrt{(0^{2}+1^{2}+0^{2}).((-1)^{2}+(-4)^{2}+3^{2})}}$ = $\frac{4}{\sqrt{26}}$
Từ đó suy ra được góc X. 

a/ Gọi H là trọng tâm của ADD'A', G là trọng tâm của ABB'A'
=> HG= $\frac{a}{\sqrt{2}}$
=> B'D'=2HG= a$\sqrt{2}$
=> cạnh hình lập phương bằng a
=> $V_{hình lập phương}$ = $a^{3}$