$M(-2,3)$ là một điểm thuộc đồ thị , vì vậy $d$ sẽ cắt đồ thị tại hai điểm nữa
$y'=3x^2+6x$
$d: y-3=k(x+2)$
Do $y'(-2)=0$ nên tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $0$ sẽ không có tiếp tuyến nào có thể vuông góc với nó nữa , cho nên hai cái tiếp tuyến kia sẽ vuông góc với nhau
Giao điểm của $d$ và đồ thị thỏa mãn
$x^3+3x^2-4=k(x+2)$
$\Rightarrow (x+2)^2(x-1)=k(x+2)$
Vậy hoành độ của hai điểm kia là nghiệm của PT $(x+2)(x-1)=k$
$\Leftrightarrow x^2+x-2-k=0 (*)$
Để có hai nghiệm $\Delta=1+4(k+2)>0\Leftrightarrow 4k+9>0\Leftrightarrow k>-\frac{9}{4}$
Khi đó $(*)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$
$y'(x_1)=3x_1^2+6x_1=3(x_1^2+x_1)+3x_1=3(x_1+k+2)$
$y'(x_2)=3x_2^2+6x_2=3(x_2+k+2)$
Để tiếp tuyến tại chúng vuông góc , tích của hai hệ số góc phải bằng $-1$
$y'(x_1)y'(x_2)=-1\Leftrightarrow 9(x_1+k+2)(x_2+k+2)=-1$
$\Leftrightarrow 9x_1x_2+9(k+2)(x_1+x_2)+9(k+2)^2=-1$
Áp dụng định lý Viete cho $(*)\Rightarrow x_1x_2=-(k+2) , x_1+x_2=-1$
$\Rightarrow -9(k+2)-9(k+2)+9(k+2)^2=-1$
$\Leftrightarrow 9(k+2)^2-18(k+2)+1=0$
$\Leftrightarrow k=-1\pm\frac{\sqrt8}{3}$