$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4    \Rightarrow 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=8$
Ta có: $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
\Rightarrow \overrightarrow{CB}^{2}=AB^{2}+AC^{2}-8$ hay $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-8$
$\Delta ABC$ vuông tại B suy ra $BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}$
$\Rightarrow AC^{2}-AB^{2}=AB^{2}+AC^{2}-8$
$\Rightarrow 2AB^{2}-8=0$ suy ra $AB=2$
tương tự,tìm $BC$ bằng $(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})^{2}$
suy ra $BC=3$
cũng cách như trên, dùng $(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})^{2}$ suy ra $BD=\sqrt{5}$
tam giác $ABD$ vuông tại $A$,dùng pytago suy ra $AD=1$
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\times AB=4$ (đvdt)

định lý cos trong tam giác là như thế này : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos(\widehat{BAC})$
cách để dễ nhớ thế này: trong tam giác,bình phương 1 cạnh = tổng bình phương 2 cạnh còn lại trừ 2 lần tích 2 cạnh đó nhân với cos góc xen giữa
(góc xen giữa của 2 cạnh này cũng chính là góc đối diện cạnh còn lại,tức là cạnh BC thì góc $\widehat{BAC}$
áp dụng vô đây : $7^{2}=5^{2}+8^{2}-2.5.8.cos(\widehat{BAC})$
suy ra $cos(\widehat{BAC})=\frac{1}{2}$
mà cos của 2 vectơ lại dc tính là tích vô hướng chia tích độ dài
cái ký hiệu $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} $ chính là tích vô hướng đó, độ dài vecto thì chính là độ dài cạnh r
$cos(\widehat{BAC})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$
Mà $|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|=AB.AC=5.8=40$
suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=20$

câu 1 là $n(3n+1)$ thôi, k có bình phương nhé
thử với n=1,ta thấy $1.(3.1+1)=1(1+1)^{2}$ hay 4=4 (đúng)
giả giả sử đẳng thứ đúng với n=k, tức là $1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)^{2}$
ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1,tức là $1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k+2)^{2}$  $(*)$
thật vậy
$(*)\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+4k+4)$
 $\Leftrightarrow  1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+2k+1+2k+3)$
$\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k^{2}+2k+1)+(k+1)(2k+3)$
hay $1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=(k+1)(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3)$
$\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3)$
đặt (k+1) làm nhân tử chung
$\Leftrightarrow 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)(2k+3+k+1)$
$1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)[3k+4]=k(k+1)^{2}+(k+1)(3k+4)$
mà $1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)^{2}$
vậy đẳng thức cũng đúng với n=k+1

câu 2 chưa làm ngay được ,trc tiên phải chứng minh đẳng thức này :
$1+2+3+...+n=\frac{n.(n+1)}{2}$
với n=1, ta có $1=\frac{1.2}{2}$  (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k, tức là $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng với n=k+1, hay $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
thật vậy $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{k.(k+1)+2(k+1)}{2}$
hay $1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$
$\Leftrightarrow 1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
mà $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$
vậy đẳng thức đúng với n=k+1
đẳng thức được chứng minh( lát sẽ xài tới nó)
quay lại đẳng thức đầu
với n=1, ta có $1^{3}=1^{2}$ (đúng)
giả sử đẳng thức đúng với n=k,tức là $1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$
ta cần chứng minh đẳng thức cũng đúng khi n=k+1,tức là $1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}$
khai triển vế phải ra là $(1+2+3+...+k)^{2}+2(k+1)(1+2+3+...+k)+(k+1)^{2}$
mà $1+2+3+...+k=\frac{k.(k+1)}{2}$(chứng minh ở đầu bài )
suy ra $2(k+1)(1+2+3+...+k)=2\frac{k(k+1)(k+1)}{2}=k^{3}+2k^{2}+k$
vậy $VP=(1+2+3+...+k)^{2}+k^{3}+2k^{2}+k+(k+1)^{2}=(1+2+3+...+k)^{2}+k^{3}+2k^{2}+k+k^{2}+2k+1=(1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^{3}$
mà $(1+2+3+...+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+k^{3}$
vậy đẳng thức đúng với n=k+1

đúng đề k thế @.@ , $\forall x\in R,\sqrt{(x^{4}+5)}<\sqrt{(x^{4}+12)}$ tức là vế trái luôn <0, vậy tập nghiệm là $x\in \varnothing $