Câu 1
số cách nối ngẫu nhiên 3 điểm trong (4+5+6)=15 điểm : $C^{3}_{15}$
số cách nối 3  điểm thẳng hàng trong cạnh thứ nhất: $C^{3}_{4}$ ; cạnh thư hai  $C^{3}_{5}$ ; cạnh thứ ba :  $C^{3}_{6}$
(trừ 3 điểm thẳng hà những bộ ba điểm thẳng hàng,những cách nối còn lại đều tạo nên 1 tam giác)
xác suất : $\frac{C^{3}_{15}-(C^{3}_{4}+C^{3}_{5}+C^{3}_{6})}{C^{3}_{15}} =\frac{421}{455}$
Câu 2
cách tính số ước của 1 số như sau :
Goi số đó là A, phân tích A ra thừa số nguyên tố, a,b,c...v.v...
nếu A = $a^{x}$ thì A có x+1 ước
nếu A = $a^{x} \times b^{y}$ thì A có $( x+1) \times (y+1)$ ước
nếu A = $a^{x} \times b^{y} \times c^{z} \times .....$thì A có $(x+1)\times (y+1)\times (z+1)\times ...$ ước
áp dụng vào trường hợp này :$75000=2^{3}\times3\times5^{5}$
suy ra 75000 có $(3+1)\times(1+1)\times(5+1)=48$ ước
Câu 3
bài này nói số trường hợp thấy hơi bất ổn nên thôi gọi bằng từ ngữ của phân môn luôn :)
không gian mẫu:  $6\times 6\times 6=216$
những bộ này sẽ có tổng =9
(1,3,5);(2,3,4);(3,3,3);(1,2,6);(4,1,4)
trừ bộ (3,3,3) cho 1 trường hợp ,các bộ còn lại có $3!=6$ trường hợp
tổng cộng có $6+6+1+6+6=25$
xác suất $\frac{25}{216}$
p/s:thấy câu hỏi sau 13 giây,trả lời hết 15 phút, firefox bị crash,làm lại 15p nữa= ))

Tính $\int\limits_{0 }^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+cos^{5}x}{1+sinx}dx$

đầu tiên,dễ thấy y=0 k là nghiệm của hệ (thay vào pt trên thì ra $x^{2} =9$ pt dưới lại cho $x^{2}=0$ nên hệ vô nghiệm
chia 2 vế của pt thứ 2 cho $y^{2}$ ta được $2(\frac{x}{y})^{2}-13\frac{x}{y}+15=0$
giải pt bậc 2 với ẩn là $\frac{x}{y}$ ta được $\frac{x}{y}=5$ hoặc $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$
với $\frac{x}{y}=5$ hay $x=5y$ ,thay vào pt đầu suy ra $(5y)^{2}-2\times (5y)\times y+3y^{2}-9=0$
$\Rightarrow $ $18y^{2}-9=0$ $\Rightarrow $ $y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
có y rồi,thay lại vào x=5y ta được \begin{cases}x=\frac{5}{\sqrt{2}} \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} hoặc\begin{cases}x=\frac{-5}{\sqrt{2}} \\ y=\frac{-1}{\sqrt{2}} \end{cases}
hoàn toànt ương tự với $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ , trường hợp này suy ra \begin{cases}x=3 \\ y=2 \end{cases} hoặc \begin{cases}x=-3 \\ y=-2 \end{cases}

xét f(x)= $ \frac{x-2}{x-1}$
D=R\ {1}; f'(x)= $ \frac{1}{(x-1)^{2}} $
tiếp tuyến qua A với hệ số góc k sẽ có dạng $y-a=k(x-0)$ hay $y=kx+a$ đặt g(x)=$kx+a$ thì g'(x)=$k$
điệu kiện tiếp xúc giữa f(x) và g(x) là thế này \begin{cases}f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{cases}
suy ra hệ \begin{cases}kx+a=\frac{x-2}{x-1} \\ k= \frac{1}{(x-1)^{2}}\end{cases}
rút k ở dưới thế lên ta được $\frac{x}{(x-1)^{2}}+a =\frac{x-2}{x-1}$
vì x $\neq$ 1 nên nhân 2 vế cho $(x-1)^{2}$ ta được $x+a(x-1)^{2}=(x-2)(x-1)$
khai triển rồi rút gọn ta được pt $(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1=0$
đặt h(x)=$(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1$
để kẻ dc 2 tiếp tuyến có hoành độ 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Oy  thì pt h(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu và khác 1
tức là \begin{cases}a-1 \neq 0 \\\Delta' h(x) >0 \\ x_{1}\times x_{2} <0 \\ h(1)\neq 0 \end{cases}
suy ra \begin{cases} a \neq 1\\(2-a)^{2} +4(a-1) >0 \\ \frac{-1}{a-1}<0 \\a-1+2(2-a)-1\neq 0\end{cases}
 rút gọn lại ta có \begin{cases}a \neq 1 \\ a^{2} >0 \\a-1>0\\-a+2\neq 0 \end{cases}
vậy \begin{cases} a\neq1 \\ a\neq0\\a>1\\a\neq2 \end{cases}
Vậy a $\in (1;+\infty )$ \  {2}