\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27} \\ {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2} + {u_3} = 27} \\ {u_1^2 + {{\left( {\frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}} \right)}^2} + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_3} = 18} \\ {u_1^2 + u_3^2 = 194} \end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_3} = 18} \\ {{u_1}{u_3} = 65} \end{array}} \right.\]$\Rightarrow u_1,u_3$ là nghiệm của pt ${x^2} - 18x + 65 = 0$\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 13 \hfill \\ {u_3} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \vee \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 5 \hfill \\ {u_3} = 13 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 13 \hfill \\ d = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \vee \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 5 \hfill \\ {u_3} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2} + {u_3} = 27}\\{u_1^2 + {{\left( {\frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}} \right)}^2} + u_3^2 = 275}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_3} = 18} \\ {u_1^2 + u_3^2 = 194} \end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_3} = 18} \\ {{u_1}{u_3} = 65} \end{array}} \right.\]$\Rightarrow u_1,u_3$ là nghiệm của pt ${x^2} - 18x + 65 = 0$\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13\\{u_3} = 5\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_3} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13\\d = - 4\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_3} = 4\end{array} \right.\]

$\sqrt[3]{{6x + 1}} = 2x \Leftrightarrow 8{x^3} - 6x - 1 = 0$Đặt: $x = \frac{1}{2}\cos t$ với $t \in \left[ {0;\pi } \right]$Phương trình trở thành:$4{\cos ^3}t - 3\cos t = 1$$\Leftrightarrow \cos 3t = 1$$\Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{3}$$\Rightarrow x = \frac{1}{2}\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{4}$Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=- \frac{1}{4}$.

$\sqrt[3]{{6x + 1}} = 2x \Leftrightarrow 8{x^3} - 6x - 1 = 0$Đặt: $x = \cos t$ với $t \in \left[ {0;\pi } \right]$Phương trình trở thành:$2(4{\cos ^3}t - 3\cos t) = 1$$\Leftrightarrow \cos 3t = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 3t = \frac{{\pi }}{3}$$\Leftrightarrow t = \frac{{\pi }}{9}$$\Rightarrow x =\cos \frac{{\pi }}{9}$Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\cos \frac{{\pi }}{9}$.

$\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} = \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} $ĐK: $ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky:$VT=\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} \leq \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {1 - 2x + 1 + 2x} \right)} \leq 2$Theo bất đẳng thức Côsi:$\sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \geq 2\sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}.\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \geq 2$$ \Rightarrow VT \leq VP$Dấu "=" xảy ra khi:$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 - 2x} = \sqrt {1 + 2x}\\ \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} = \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 - 2x} = \sqrt {1 + 2x} \\ \frac{{ - 4x}}{{\sqrt {(1 + 2x)(1 - 2x)} }} = 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow x=0$Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

$\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} = \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} $ĐK: $ - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky:$VT=\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} \leq \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {1 - 2x + 1 + 2x} \right)} \leq 2$Theo bất đẳng thức Côsi:$\sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \geq 2\sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}.\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \geq 2$$ \Rightarrow VT \leq VP$Dấu "=" xảy ra khi:$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 - 2x} = \sqrt {1 + 2x}\\ \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} = \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 - 2x} = \sqrt {1 + 2x} \\ \frac{{ - 4x}}{{\sqrt {(1 + 2x)(1 - 2x)} }} = 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow x=0$ (TMĐK)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.