2)
hpt$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y= m\\ (x+y)^2-2xy=2m+1 \end{cases}$
Đặt :$\begin{cases}x+y= S\\ xy= P\end{cases}(S^2\geq 4P)\Rightarrow $ hệ đã cho trở thành:
$\begin{cases}S=m \\ S^2-2P=2m+1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=m \\ P=\frac{S^2-2m-1}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}S=m \\ P=\frac{m^2-2m-1}{2} \end{cases}$

Để hpt có nghiệm thì  $S^2\geq 4P\Leftrightarrow m^2 \geq 4.\frac{(m^2-2m-1)}{2}\Leftrightarrow m^2-4m-2\leq 0$
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{6}\leq m\leq 2+\sqrt{6}$

$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x+cos^2x)^3-3sin^2x.cos^2x(sin^2x+cos^2x)$
=$1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x=1-\frac{3}{4}.\frac{(1-cos4x)}{2}$

$=1-\frac{3}{8}(1-cos4x)=1-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}cos4x=\frac{5+3cos4x}{8}$
+)Vì $cos4x\geq -1\Rightarrow y\geq \frac{5+3.(-1)}{8}=1/4$
 dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=-1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$($k\in Z)$
+)$cos4x\leq 1\Rightarrow y\leq \frac{5+3}{8}=1$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow cos4x=1\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}(k\in Z)$

Vậy...

+) Gọi M là trung điểm của BC
+)Ta có: $\overrightarrow{IA}(5;-7)\Rightarrow IA=\sqrt{74}$
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $(C)\Rightarrow (C):(x+2)^2+y^2=74$
Kéo dài $AI$ cắt đường tròn tại $D\Rightarrow I$ là trung điểm của $AD\Rightarrow D(-7;7)$
+)Xét tứ giác $BHCD$ có :$BH//CD$(vì cùng vuông góc với AC); $CH//DB$( vì cùng vuông góc với AB)
$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành $\Rightarrow M$ là trung điểm của $HD$ và $BC$
Vì M là trung điểm của HD $\Rightarrow M(-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{IM}(0;3)$ là vecto pháp tuyến của BC
$\Rightarrow BC:0(x+2)+3(y-3)=0\Rightarrow BC:y=3$
Ta có $BC $ cắt $(C)$ tại $B và C\Rightarrow $ Tọa độ B,C là nghiệm của hệ :$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=74 \\ y= 3\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}x=\sqrt{65}-2; y=3\\ x=-\sqrt{65} -2;y=3\end{matrix}} \right.$

$\Rightarrow B(-2-\sqrt{65};3),C(\sqrt{65}-2;3)$ (Vì C có hoành độ dương)

b)ĐK:$sin4x\neq 0$
pt$\Leftrightarrow \frac{-2cos2x}{sin2x}+2\frac{sin2x}{cos2x}+cot^34x=3$

$\Leftrightarrow \frac{2(sin^22x-cos^22x)}{sin2x.cos2x}+cot^34x=3$

$\Leftrightarrow \frac{-4cos4x}{sin4x}+cot^34x=3$
$\Leftrightarrow cot^34x-4cot4x-3=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} cot4x=-1\\ \begin{matrix} cot4x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\cot4x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix} \end{matrix}} \right.$
Đến đây dễ rồi bạn tự làm tiếp nhé !

a)
Vì $E$ là trung điểm của $AD\Rightarrow OE$ vuông góc vs$AM$ tại $E\Rightarrow\widehat{OEM} =90^o$
+)Xét tứ giác $OEBM$ có: $\widehat{OEM}=90^o$;$\widehat{OBM}=90^o\Rightarrow \Rightarrow $2 điểm $B$ và $E$ cùng nhìn cạnh $OM$ dưới 1 góc không đổi =$90^o\Rightarrow $ tứ giác $OEBM$ nội tiếp
b)
+)Xét $\Delta MBD$ và $\Delta MAB$ có :$\widehat{AMB}$ chung; $\widehat{MAB}=\widehat{MBD}$( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến &dây cung cùng chắn cung$DB$)
$\Rightarrow \Delta MBD$ đồng dạng vs $\Delta MAB\Rightarrow \frac{MB}{MA}=\frac{MD}{MB}\Leftrightarrow MB^2=MA.MD$

c)+)Gọi N là điểm chính giữa cung BC nhỏ , vì$OM$ vuông góc vs $BC$ nên $OM$ đi qua $N$
Xét $(O)$có $\widehat{BFC}=\frac{1}{2}sđ$ cung$BC$(góc nội tiếp =1/2 sđ cung bị chắn)
Mặt khác ta có $\widehat{MOC}=sđ cungNC=\frac{1}{2}sđ cung BC$ (vì N là đểm chính giữa cung BC)
$\Rightarrow \widehat{BFC}=\widehat{MOC}$

+)chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác $COEM$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{CEM}\Rightarrow \widehat{CEM=}\widehat{BFC}$( vì cùng = góc MOC) $\Rightarrow BF//AM$ (vì có 2 góc ở vị trí đồng vị = nhau)

3)
Ta có pt(2)$\Leftrightarrow x^2+y^2+2+2\sqrt{x^2y^2+(x^2+y^2)+1}=16$
Đặt $x^2+y^2=a$( $a\geq 0)$ và $xy=b\Rightarrow $ hệ đã cho tương đương với$\begin{cases}a-b=3(*) \\ a+2+2\sqrt{b^2+a+1}=16 (**)\end{cases}$
Từ $(*)\Rightarrow b=a-3$ thay vào $(**)$ ta đc:$2\sqrt{a^2-5a+10}=14-a\Leftrightarrow \begin{cases}a\leq 14 \\ 4(a^2-5a+10)=196-28a+a^2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a\leq 14 \\ \left[ {\begin{matrix} a=6\\ a=-26/3 \end{matrix}} \right. \end{cases}\Leftrightarrow a=6$( vì $a\geq 0$)$\Rightarrow b=3$
Với $\begin{cases}a=6 \\ b=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=6 \\ xy= 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2=12 \\ xy= 3\end{cases}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x+y= 2\sqrt{3}\\ xy=3 \end{cases}\\ \begin{cases}x+y= -2\sqrt{3}\\ xy=3 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=y=\sqrt{3}\\ x=y=-\sqrt{3} \end{matrix}} \right.$

Vậy hpt có 2 nghiệm

b)
pt$\Leftrightarrow sin2x+(sinx+sin3x)-\sqrt{3}(cos2x+cosx+cos3x)=0$
$\Leftrightarrow sin2x+2sin2x.cosx-\sqrt{3}(cos2x+2cos2x.cosx)=0$
$\Leftrightarrow sin2x(2cosx+1)-\sqrt{3}cos2x(2cosx+1)=0$
$\Leftrightarrow (2cosx+1)(sin2x-\sqrt{3}cos2x)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} cosx=-1/2(*)\\ sin2x-\sqrt{3}cos2x=0 (**) \end{matrix}} \right.$
+) $(*)\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k\in Z)$
+) $(**)\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=0\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi}{3})=0\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=k\pi$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$ ($k\in Z$)

Vậy pt có 3 họ nghiệm