Ta có tâm $O(0;0)$, bán kính $R=1$
$\Delta ABO $có $S=\frac{1}{2}OA.OB.sin\widehat{AOB}=\frac{1}{2}sin\widehat{AOB}$( vì $OA=OB=R=1$)
$\Rightarrow $diện tích tam giác ABO lớn nhất $\Leftrightarrow sin\widehat{AOB}$ lớn nhất$\Leftrightarrow sin\widehat{AOB}=1\Leftrightarrow \Delta ABO$vuông cân tại $O\Rightarrow d(O;d)=R.cos45^o=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{\left|m {} \right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left| m{} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1\\m=-1 \end{matrix}{} \right.$
Vậy $\left[ \begin{matrix} (d):x+y+1=0
\\(d):x+y-1=0\end{matrix}{} \right.$

1)
pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)cos3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)sin3x=cos^34x$
$\Leftrightarrow 3(cosx.cos3x+sinx.sin3x)+cos^23x-sin^23x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow 3cos2x+cos6x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow 3cos2x+4cos^32x-3cos2x=4cos^34x$
$\Leftrightarrow cos^32x=cos^34x\Leftrightarrow cos2x=cos4x\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=4x+k2\pi\\ 2x=-4x+k2\pi\end{matrix}{} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-k\pi\\ x=\frac{k\pi}{3}  \end{matrix}{} \right.(k\in Z)$

2)
pt$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(3cosx+cos3x)sin3x+\frac{1}{4}(3sinx-sin3x)cos3x=sin^34x$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}sin3x.cosx+\frac{1}{4}sin3x.cos3x+\frac{3}{4}sinx.cos3x-\frac{1}{4}sin3x.cos3x=sin^34x$

$\Leftrightarrow 3(sin3x.cosx+cos3x.sinx)=4sin^34x$
$\Leftrightarrow 3sin4x-4sin^34x=0\Leftrightarrow sin12x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{12}$  $(k\in Z)$

1) Từ $M$ kẻ  $MK // BP$ ( với $K\in AC$ )$\Rightarrow $ Theo định lí Ta- lét ta có: $\frac{AI}{IM}=\frac{PA}{PK}=4$

Mặt khác xét $\Delta BPC$ có: $MK//BP,M$ là trung điểm của $BC$ nên $MK$ là đường trung bình của $\Delta BPC$
$\Rightarrow K$ là trung điểm của $PC\Rightarrow PK=\frac{PC}{2}\Rightarrow \frac{PA}{PK}=4\Leftrightarrow \frac{PA}{\frac{PC}{2}}=4\Leftrightarrow \frac{PC}{PA}=\frac{1}{2}$

ĐK: $2sinx+3cosx\neq 0$
pt$\Leftrightarrow 2cos^3x+4sin3x=2sinx.sin2x+3sin2x.cosx$
$\Leftrightarrow 2cos^3x+4(3sinx-4sin^3x)=4sin^2x.cosx+6sinx.cos^2x$
$\Leftrightarrow 2cos^3x-16sin^3x+12sinx(sin^2x+cos^2x)=4sin^2x.cosx+6sinx.cos^2x$
$\Leftrightarrow 2sin^3x+2sin^2x.cosx-3sinx.cos^2x-cos^3x=0$
+)Xét $cosx=0\Leftrightarrow sinx=1 hoặc sinx=-1$(thay vào pt ta thấy pt vô nghiệm)
+)Xét $cosx\neq 0$,Chia cả 2 vế của pt cho $cos^3x$ ta đc:
$2tan^3x+2tan^2x-3tanx-1=0$

Đến đây bạn giải pt bậc 3 tìm $tanx$ từ đó tìm $x$ rồi đối chiếu vs điều kiện và kết luận!