Điều kiện xác định: $0\leq x\leq 1.$
Vì $(\sqrt{x})^2+(\sqrt{1-x})^2=1$ nên ta có thể đặt: $\sqrt{x}=\sin t;\sqrt{1-x}=\cos t, t\in [0;\frac{\pi}{4}]$
Gọi $m$ là một giá trị bất kì của hàm số đã cho, ta có:
$m=\frac{2\sin t-\cos t+4}{\sin t+\cos t+2}\Leftrightarrow (m-2)\sin t+(m+1)\cos t=4-2m$ ($\alpha $)
Để hàm số đã cho tồn tại GTLN,GTNN thì PT ($\alpha $) phải có nghiệm.
[Nhắc lại, PT $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm $\Leftrightarrow a^2+b^2\geq c^2$]
Do đó ta phải có:
$(m-2)^2+(m+1)^2\geq (4-2m)^2\Leftrightarrow 2m^2-14m+11\leq 0\Leftrightarrow \frac{7-3\sqrt{3}}{2}\leq m\leq \frac{7+3\sqrt{3}}{2} $
Từ đó, ta có: $miny=\frac{7-3\sqrt{3}}{2};maxy=\frac{7+3\sqrt{3}}{2}.$
Ấn dấu tick nếu đáp án đúng...