Khi bốc theo quy tắc của trò chơi thì cuối cùng số bi còn lại là $1$ viên. Khi còn $1$ viên thì không ai có thể bốc tiếp được nữa vì nếu bốc
nốt $1$ viên thì lại lớn hơn $\frac{1}{2}$ số bi còn lại.
Đề bài cho chưa rõ ràng : ai đến lượt đi mà không còn bi để bốc thì thua. Sẽ có $3$ cách hiểu về trường hợp số bi còn lại bằng $1$ :
-
Trò chơi kết thúc hòa cho cả hai đối thủ vì bi vẫn còn nhưng không còn
cách đi hợp lệ. Trong trường hợp này thì trò chơi luôn kết thúc hòa.
-
Trò chơi kết thúc thua với người đến lượt đi mà số bi còn lại là $1$ (vì
đến lượt đi mà không bốc được nữa là thua). Như vậy người nào đến lượt
đi mà số bi còn lại là $1$ thì thua. Lần ngược lên, người nào đến lượt
mình đi mà số bi còn lại là $2$ sẽ thắng; Người nào đến lượt đi mà số bi
còn lại là $3$ sẽ thua (vì chỉ được bốc $1$ viên và số bi còn lại là $2$ nhưng
quyền bốc tiếp theo thuộc người kia); Người nào đến lượt đi mà số bi
còn lại là $4$ sẽ thắng (bốc $1$ viên); Người nào đến lượt đi mà số bi còn
lại là $5$ sẽ thắng (bốc $2$ viên); Người nào đến lượt đi mà số bi còn lại
là $6$ sẽ thắng (bốc $3$ viên); Người nào đến lượt đi mà số bi còn lại là $7$ sẽ thua (vì bốc $1, 2$ hoặc $3$ viên thì còn lại $6, 5$ hoặc $4$ đều là tình
huống thắng cho đối phương); Người nào đến lượt đi mà số bi còn lại là $11$ sẽ thắng (bốc $4$ viên để còn $7$ viên để đối thủ rơi vào tình huống
thua). Như vậy An thắng.
- Trò chơi kết thúc thắng với người bốc
viên bi cuối cùng (được phép bốc viên bi cuối cùng). Lần ngược như
trên thì An sẽ thua.