|
|
|
Đặt a = 1/x; b = 1/y; c = 1/z thì a + b + c = 1; a,b,c > 0
P = b²(1/a - 1) + c²(1/b - 1) + a²(1/c - 1)
= (a²/c + b²/a + c²/b) - (a² + b² + c²)
= (a + b + c)(a²/c + b²/a + c²/b) - (a² + b² + c²) (vì a + b + c = 1)
= (a³/c + b³/a + c³/b) + (a²b/c + b²c/a + c²a/b)
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương:
a³/c + ca ≥ 2a²
b³/a + ab ≥ 2b²
c³/b + bc ≥ 2c²
=> a³/c + b³/a + c³/b + (ab + bc + ca) ≥ 2(a² + b² + c²)
hay a³/c + b³/a + c³/b ≥ 2(a² + b² + c²) - (ab + bc + ca) (♥)
Cũng theo Cosi:
a²b/c + bc ≥ 2ab
b²c/a + ca ≥ 2bc
c²a/b + ab ≥ 2ca
=> a²b/c + b²c/a + c²a/b + (ab + bc + ca) ≥ 2(ab + bc + ca)
hay a²b/c + b²c/a + c²a/b ≥ ab + bc + ca (♦)
Từ (♥) và (♦) ta có:
P = (a³/c + b³/a + c³/b) + (a²b/c + b²c/a + c²a/b) ≥ 2(a² + b² + c²) - (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)
hay P ≥ 2(a² + b² + c²)
mà ta có bđt quen thuộc sau:
a² + b² + c² ≥ (a + b + c)²/3
=> 2(a² + b² + c²) ≥ 2/3
Do đó: min P = 2/3, xảy ra khi a = b = c = 1/3 hay x = y = z = 3 •
|