Ta thấy 3 số $a;b;c$ k thể đồng thời bằng 0
TH1 có ít nhất 1 số bằng 0, giả sử là c
$\Rightarrow VT=\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}+\sqrt\frac{b^3}{a^3+b^3}$
Vì $\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\le1\Rightarrow \sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\ge\frac{a^3}{a^3+b^3}$
Tương tự cộng lại $\Rightarrow VT\ge1$
Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số >0
TH2: $a;b;c>0$
ta có$\sqrt{x^{3}+1} \leq \frac{x^{2}+2}{2}$
$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}$
$=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
TT $\Rightarrow đpcm$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$