a) -Ta có:K \in (O) nên: \widehat{AKB} = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )(1)-Mà MN vuông góc với AB tại I nên: \widehat{MIB}=90(2)-Từ (1),(2) suy ra tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn.b)-Ta có:MN vuông góc với AB tại I mà AB là đường kính (O) nên ta có: MI=NI=>AM=AN hay cung AM= cungAN-Suy ra:\widehat{MKA}=\widehat{AMN} (hai góc chắn cung AM và AN)-Xét Tam giác AME,AKM ta có:Góc Achung\widehat{MKA}=\widehat{AMN} =>Tam giác AME,AKM đồng dạng=>\frac{AM}{AE}=\frac{AK}{AM}=>AM^2=AK.AEC)-Ta có:Tam giác AIE,AKB đồng dạng (g.g)=>\frac{AI}{AE}=\frac{AK}{AB}=>AI.AB=AK.AEAI.AB=AK.AE=>(AB-BI).AB=AK.AE=>AB^2-AB.BI=AK.AE=>AB.BI=AB^2-AK.AE-Suy ra: AE.AK+BI.BA=AK.AE+AB^2-AK.AE =>AE.AK+BI.BA=AB^2=4R^2(đpcm)d) Ta có: chu vi tam giác MIO= MO+MI+IO=R+IO+MIĐể chu vi tam giác MIO lớn nhất thì IO+MI phải lớn nhất=>MI phải lớn nhất và IO phải lớn nhất-Mặt khác ta lại có: IO^2+MI^2=ME^2=R^2=>IO^2+MI^2 không đổi=> Để MI phải lớn nhất và IO phải lớn nhất thì MI=IO=>I là trung điểm của OA.

a) -Ta có:K \in (O) nên: AKB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )(1)-Mà MN vuông góc với AB tại I nên: MIB=90(2)-Từ (1),(2) suy ra tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn.b)-Ta có:MN vuông góc với AB tại I mà AB là đường kính (O) nên ta có: MI=NI=>AM=AN hay cung AM= cungAN-Suy ra:MKA=AMN}(hai góc chắn cung AM và AN)-Xét Tam giác AME,AKM ta có:Góc AchungMKA=AMN =>Tam giác AME,AKM đồng dạng=>AM/AE=AK/AM=>AM^2=AK.AEC)-Ta có:Tam giác AIE,AKB đồng dạng (g.g)=>AI/AE=AK/AB=>AI.AB=AK.AEAI.AB=AK.AE=>(AB-BI).AB=AK.AE=>AB^2-AB.BI=AK.AE=>AB.BI=AB^2-AK.AE-Suy ra: AE.AK+BI.BA=AK.AE+AB^2-AK.AE =>AE.AK+BI.BA=AB^2=4R^2(đpcm)d) Ta có: chu vi tam giác MIO= MO+MI+IO=R+IO+MIĐể chu vi tam giác MIO lớn nhất thì IO+MI phải lớn nhất=>MI phải lớn nhất và IO phải lớn nhất-Mặt khác ta lại có: IO^2+MI^2=ME^2=R^2=>IO^2+MI^2 không đổi=> Để MI phải lớn nhất và IO phải lớn nhất thì MI=IO=>I là trung điểm của OA.