Kéo đường chéo AC của tứ giác ABCD có diên tích S và chu vi P=a+b+c+d ta được hai tam giác ACD và ACBGiả sử SACD=s≥ SACB, ta có: s≥12S (1)Trong ΔACD nội tiếp một đường tròn bán kính r thì s=pr (2)( p là nửa chu vi)Tức là p=c+d+e2Do c<a+b nên p=c+d+e2<a+b+c+d2=P2 (3)Từ (1) (2) (3) suy ra: r=sp>12S12P=SP
Kẻ đường kính BD ta có ΔBCD vuông tại C. Xét hai tam giác vuông ΔBCD∼ΔABE ( vì Aˆ=Dˆ vì cùng chắn cung BC)trong đó BE=h là đường caoTa có: ch=2RaTrong đó h=2bp(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Vậy bán kính R=abc4p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=abc4Sa