pt <=> 3sinx - 4(sinx)^{3} + 4(cosx)^{3} - 3cosx + sinx - cosx - (\sqrt{2})*cos2x = 0
<=> 4(
(cosx)^{3} -
(sinx)^{3} ) - 2(
cosx -
sinx ) -
(\sqrt{2})*( cosx^{2} - sinx^{2}) =0
<=> 4( cosx -sinx )*(1+ (sinx)*(cosx) ) - 2( cosx - sinx ) -
(\sqrt{2})*(cosx^{2} - sinx^{2} ) =0<=> [ cosx = sinx ] <1> or [ 4(1+ (sinx)*(cosx) ) - 2 -
(\sqrt{2})*( cosx + sinx ) =0 ] <2>
giải <1> :
tanx = 1 <=> x = (Pi)/4 + k(Pi).
giải <2> :
đặt sinx + cosx = t => t^{2} = 1 + 2((sinx)*(cosx)) => (sinx)*(cosx) = (t^{2} - 1)/2
thay vào <2> ta có :
pt <=> 4 + 4(
(t^{2} - 1)/2 ) - 2 - (\sqrt{2})*t = 0
<=> 2(t^{2}) - (\sqrt{2})*t = 0
<=> t = 0 or t = (\sqrt{2})/2
<=> sinx + cosx = 0 <3> or sinx + cosx = (\sqrt{2})/2 <4>
<3> <=> tanx = -1 <=> x = -(Pi)/4 + k(Pi)
<4> <=> (\sqrt{2})*( sin(x + (Pi)/4) ) = (\sqrt{2})/2 <=> sin(x + (Pi)/4)= 1/2 <=> x = -(Pi)/12 + k2(Pi) or x = 7(Pi)/12 + k2(Pi)
vậy pt có 4 họ nghiệm
x = (Pi)/4 + k(Pi).
x = -(Pi)/4 + k(Pi)
x = -(Pi)/12 + k2(Pi)
x = 7(Pi)/12 + k2(Pi)