$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$
$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$
$\Leftrightarrow - (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$
Do $\sin^2 a+ \cos^2 b =1 \Longrightarrow \sin^2 a -1 =\cos^2 b$
$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$
Do $\sin 2a = 2 \sin a. \cos a$
$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$
$\Leftrightarrow -\sin^3 x -3 \sin^2 x +4 =0$

Ta có: $\sin^2 x =\frac{1- \cos 2x}{2}$
$\sqrt{3} \sin x. \cos x=\frac{\sqrt{3} \sin 2x}{2}$
Suy ra: $y=\frac{1- \cos 2x}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin 2x}{2}+1$
$\Leftrightarrow 3-2y= \cos 2x +\sqrt{3} \sin 2x$
Áp dụng điều kiện nghiệm, ta có:
$(3-2y)^2 \le (1)^2 + (\sqrt{3})^2$
$\frac{1}{2} \le y \le \frac{5}{2}$

Thay giá trị tương ứng của $y$ vào $\Leftrightarrow 3-2y= \cos 2x +\sqrt{3} \sin 2x$ để tìm dấu bằng .

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta dễ dàng chứng minh được bdt sau bằng phép biến đổi tương đương:
$\sqrt[3]{4(x^3+y^3)} \ge x+y$
Vậy ta cần chứng minh: $\sum x +  \sum \frac{x}{y^2} \ge 6$
$\Leftrightarrow \sum (x+\frac{x}{y^2}) \ge 2\sum \frac{x}{y} = 2(\frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+\frac{z}{x})=6$ (Theo AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ $\blacksquare$