mod xóa hộ em

Đặt biểu thức vế trái là P, theo bđt Holder, ta có:
$[ \sum a(a^2+8bc)].P^2 \ge (a+b+c)^3$ 
$\Rightarrow P^2 \ge \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(a^2+8bc)}$
Ta cần chứng minh:
$(a+b+c)^3 \ge \sum a(a^2+8bc)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge a^3+b^3+c^3+24abc$
$\Leftrightarrow c(a-b)^2+b(c-a)^2+a(b-c)^2 \ge 0$ 
Bài toán được giải quyết . $ \Box$ 

$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$
$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$
$\Leftrightarrow - (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$
Do $\sin^2 a+ \cos^2 b =1 \Longrightarrow \sin^2 a -1 =\cos^2 b$
$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$
Do $\sin 2a = 2 \sin a. \cos a$
$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$
$\Leftrightarrow -\sin^3 x -3 \sin^2 x +4 =0$

Ta có: $\sin^2 x =\frac{1- \cos 2x}{2}$
$\sqrt{3} \sin x. \cos x=\frac{\sqrt{3} \sin 2x}{2}$
Suy ra: $y=\frac{1- \cos 2x}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin 2x}{2}+1$
$\Leftrightarrow 3-2y= \cos 2x +\sqrt{3} \sin 2x$
Áp dụng điều kiện nghiệm, ta có:
$(3-2y)^2 \le (1)^2 + (\sqrt{3})^2$
$\frac{1}{2} \le y \le \frac{5}{2}$

Thay giá trị tương ứng của $y$ vào $\Leftrightarrow 3-2y= \cos 2x +\sqrt{3} \sin 2x$ để tìm dấu bằng .

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta dễ dàng chứng minh được bdt sau bằng phép biến đổi tương đương:
$\sqrt[3]{4(x^3+y^3)} \ge x+y$
Vậy ta cần chứng minh: $\sum x +  \sum \frac{x}{y^2} \ge 6$
$\Leftrightarrow \sum (x+\frac{x}{y^2}) \ge 2\sum \frac{x}{y} = 2(\frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+\frac{z}{x})=6$ (Theo AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ $\blacksquare$

c) Bình phương 2 vế, ta có:
$(5x^2+14x+9)-(5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20})^2=0$
$\Longleftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{(x-5)(x+1)(x+4)}$
$\Longleftrightarrow (2x^2-5x+2)^2-25(x-5)(x+1)(x+4)=0$
$\Longleftrightarrow (x-8)(4x+7)(x^2-5x-9)=0$
Với điều kiện $x \ge -1$, ta chọn được 2 nghiệm:
$x=8; x= \frac{1}{2}(5+\sqrt{61})$ $\blacksquare$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có : $0 < x^2+y^2+z^2 < \frac{\pi}{2}$
Suy ra $A$ đạt GTNN khi $P=x^2+y^2+z^2$ đạt GTLN.
Giả sử $x \le y \le z \rightarrow \frac{3}{2}=x+y+z \le 3z \rightarrow z \ge \frac{1}{2}$
Ta có: $P=(x+y)^2-2xy+z^2 \le (\frac{3}{2}-z)^2 +z^2$
Mặt khác : $(2z-1)(z-1) \le 0 \leftrightarrow (\frac{3}{2}-z)^2 +z^2 \le \frac{5}{4}$
Vậy Min $A=cos\frac{5}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(1,\frac{1}{2},1)$ và các hoán vị. $\blacksquare$

$(3x-x^3)^{15}$ = $\sum_{x=0}^{15}C_{15}^n . x^{45-2n}.3^n . (-1)^{15-n}$
$k$ là số lẻ nhỏ nhất , suy ra $45-2n$ phải lẻ và nhỏ nhất.
Với điều kiện của $n$: $0 \le  n \le 15$, dễ thấy: $45-2n \ge 45-2.15=15$
Vậy $k=15$ (thỏa mãn đề bài)
Số hạng của $x^{k}$ với $k$ là số lẻ nhỏ nhất trong khai triển: $(-1)^{0}. 3^{15}.C_{15}^{15}. x^{15}$

Ta sử dụng bdt sau cho vế trái:
$a+b \le \sqrt{2(a^2+b^2)}$
Ta có: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{19-2x} \le \sqrt{2(2x-1+19-2x)}=6$
$\Rightarrow VT \le 6$
Đẳng thức xảy ra khi $x=5$
Xét vế phải, ta có:
$-x^2+10x-24=1-(x-5)^2 \le 1$
$\Rightarrow VP=\frac{6}{-x^2+10x-24} \ge 6$
Đẳng thức xảy ra khi $x=5$
Suy ra, phương trình có nghiệm duy nhất $x=5$ $\blacksquare$

$[(2x-1)+(x-1)\sqrt{2x-1}]-[x\sqrt{2x-1}-x]=0$
$(\sqrt{2x-1}-x)(\sqrt{2x-1}+x-1)=0$
=>Đơn giản rồi :)

$(-x^2+3x-1)^2-(2x-1)=0$
$(x-1)^2(x^2-4x+2)=0$
$x=1 ;x=2 \pm \sqrt{2}$
DK: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3+\sqrt{5}}{2}$