Nếu VP là dấu "+" thìTa có: $VT=\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x} \le_{AM-GM} \frac{1-2x+1}{2}+\frac{1+2x+1}{2}=2 $Suy ra : $VT \le 2$ Xét $VP=2+x^2 \ge 2 $ bpt có tập nghiệm: $S=\{0 \} $

mod xóa hộ em

$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$$\Leftrightarrow - (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow -\sin^3 x -3 \sin^2 x +4 =0$

$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$$\Leftrightarrow - (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$Do $\sin^2 a+ \cos^2 b =1 \Longrightarrow \sin^2 a -1 =\cos^2 b$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$Do $\sin 2a = 2 \sin a. \cos a$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow -\sin^3 x -3 \sin^2 x +4 =0$

$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow \sin^3 x +3 \sin^2 x +4 =0$

$(\sin x +3)(\sin^4 \frac{x}{2}- \sin^2 \frac{x}{2})+1=0$$\Leftrightarrow (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2} (\sin^2 \frac{x}{2}-1) +1 =0$$\Leftrightarrow - (\sin x +3) \sin^2 \frac{x}{2}. \cos^2 \frac{x}{2} +1 =0$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{(2 \sin \frac{x}{2}. \cos \frac{x}{2})^2}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow -(\sin x +3) \frac{\sin^2 x}{4} +1 =0$$\Leftrightarrow -\sin^3 x -3 \sin^2 x +4 =0$

a) Ta có : $y^2=(5\sqrt{x+1}+3\sqrt{6-x})^2 \le_{C-S} (5^2+3^2)(x+1+6-x)=170$$\Rightarrow -\sqrt{170} \le y \le \sqrt{170}$b) $y^2=(\sqrt{x-2}+2\sqrt{6-x})^2 \le (1^2+2^2)(x-2+6-x)=20$$\Rightarrow -\sqrt{20} \le y \le \sqrt{20}$

a) Ta có : $y^2=(5\sqrt{x+1}+3\sqrt{6-x})^2 \le_{C-S} (5^2+3^2)(x+1+6-x)=238$$\Rightarrow -\sqrt{238} \le y \le \sqrt{238}$Đẳng thức xảy ra khi $\frac{5}{\sqrt{x+1}}=\frac{3}{\sqrt{6-x}}$b) $y^2=(\sqrt{x-2}+2\sqrt{6-x})^2 \le (1^2+2^2)(x-2+6-x)=20$$\Rightarrow -\sqrt{20} \le y \le \sqrt{20}$

$(3x-x^3)^15= \sum_{x=0}^{15}C_{15}^n . x^{45-2n}.3^n . (-1)^{15-n}$$k$ là số lẻ nhỏ nhất , suy ra $45-2n$ phải lẻ và nhỏ nhất.Với điều kiện của $n$: $0 \le n \le 15$, dễ thấy: $45-2n \ge 45-2.15=15$Vậy $k=15$ (thỏa mãn đề bài)Số hạng của $x^{k}$ với $k$ là số lẻ nhỏ nhất trong khai triển: $(-1)^{0}. 3^{15}.C_{15}^{15}. x^{15}$

$(3x-x^3)^{15}$ = $\sum_{x=0}^{15}C_{15}^n . x^{45-2n}.3^n . (-1)^{15-n}$$k$ là số lẻ nhỏ nhất , suy ra $45-2n$ phải lẻ và nhỏ nhất.Với điều kiện của $n$: $0 \le n \le 15$, dễ thấy: $45-2n \ge 45-2.15=15$Vậy $k=15$ (thỏa mãn đề bài)Số hạng của $x^{k}$ với $k$ là số lẻ nhỏ nhất trong khai triển: $(-1)^{0}. 3^{15}.C_{15}^{15}. x^{15}$

$(3x-x^3)^15= \sum_{x=0}^{15}C_{15}^n . x^{45-2n}.3^n . (-1)^{15-n}$$k$ là số lẻ nhỏ nhất , suy ra $45-2n$ phải lẻ và nhỏ nhất.Với điều kiện của $n$: $0 \le n \le 15$, dễ thấy: $45-2n \ge 45-2.15=15$Vậy $k=15$ (thỏa mãn đề bài)Số hạng của xk với k là số lẻ nhỏ nhất trong khai triển: $(-1)^{0}. 3^{15}.C_{15}^{15}. x^{15}$

$(3x-x^3)^15= \sum_{x=0}^{15}C_{15}^n . x^{45-2n}.3^n . (-1)^{15-n}$$k$ là số lẻ nhỏ nhất , suy ra $45-2n$ phải lẻ và nhỏ nhất.Với điều kiện của $n$: $0 \le n \le 15$, dễ thấy: $45-2n \ge 45-2.15=15$Vậy $k=15$ (thỏa mãn đề bài)Số hạng của $x^{k}$ với $k$ là số lẻ nhỏ nhất trong khai triển: $(-1)^{0}. 3^{15}.C_{15}^{15}. x^{15}$

$(-x^2+3x-1)^2-(2x-1)=0$$(x-1)^2(x^2-4x+2)=0$$x=1 ;x=\pm2+\sqrt{2}$DK: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$(-x^2+3x-1)^2-(2x-1)=0$$(x-1)^2(x^2-4x+2)=0$$x=1 ;x=2 \pm \sqrt{2}$DK: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$(2x-1)+(x-1)\sqrt{2x-1}-x\sqrt{2x-1}+x=0$$(\sqrt{2x-1}-x)(\sqrt{2x-1}+x-1)=0$=>Đơn giản rồi :)

$[(2x-1)+(x-1)\sqrt{2x-1}]-[x\sqrt{2x-1}-x]=0$$(\sqrt{2x-1}-x)(\sqrt{2x-1}+x-1)=0$=>Đơn giản rồi :)

Phương trình đã cho tương đương với:$\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}[\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=5x$Đặt: $\sqrt{1+x}=a$, $\sqrt{1-x}=b$ $a,b \ge 0$Dễ thấy: $\frac{a^2-b^2}{2}=x$$a^2+b^2=2$Suy ra:$\sqrt{2(1+ab)}(a^3-b^3)=\frac{5(a^2-b^2)}{2}$$(a-b)[\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)-\frac{5(a+b)}{2}]=0$+) $a=b$, bạn tự giải tiếp nhé+) $\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)=\frac{5(a+b)}{2}$Ta có: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}=\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}$$\Rightarrow \sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}(2+\sqrt{1-x^2})=\frac{5.\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}}{2}$$2 .\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2} } . (2+ \sqrt{1-x^2})= 5.\sqrt{1+.\sqrt{1-x^2}}$Đặt $y=\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}$Ta có: $2y(1+y^2)=5y$-Đến đây mọi việc đã trở nên dễ dàng, bạn có thể tự giải quyết. /

Phương trình đã cho tương đương với:$\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}[\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=5x$Đặt: $\sqrt{1+x}=a$, $\sqrt{1-x}=b |a,b \ge 0$Dễ thấy: $\frac{a^2-b^2}{2}=x$$a^2+b^2=2$Suy ra:$\sqrt{2(1+ab)}(a^3-b^3)=\frac{5(a^2-b^2)}{2}$$(a-b)[\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)-\frac{5(a+b)}{2}]=0$+) $a=b$, bạn tự giải tiếp nhé+) $\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)=\frac{5(a+b)}{2}$Ta có: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}=\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}$$\Rightarrow \sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}(2+\sqrt{1-x^2})=\frac{5.\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}}{2}$$2 .\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2} } . (2+ \sqrt{1-x^2})= 5.\sqrt{1+.\sqrt{1-x^2}}$Đặt $y=\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}$Ta có: $2y(1+y^2)=5y$-Đến đây mọi việc đã trở nên dễ dàng, bạn có thể tự giải quyết. /

Với điều kiện $a_{1},a_{2},...,a_{n} \ge 1$, ta sẽ chứng minh:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}....a_{n}})$-Giả sử bdt đúng với $n+1$ số $a_{1},a_{2},...,a_{n+1}$, ta có:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n+1}) \ge (n+1)f(\sqrt[n+1]{a_{1}.a_{2}....a_{n+1}})$Lấy $a_{n+1}=a=\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ , suy ra:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})+f(a) \ge (n+1)f(a)$$\Rightarrow f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(a)=nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}})$.-Hai bất đẳng thức trên là trường hợp nhỏ của bất đẳng thức này. $\blacksquare$

Với điều kiện $a_{1},a_{2},...,a_{n} \ge 1$, ta sẽ chứng minh:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}....a_{n}})$Với $n=2$, bất đẳng thức đúng.-Giả sử bdt đúng với $n+1$ số $a_{1},a_{2},...,a_{n+1}$, ta có:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n+1}) \ge (n+1)f(\sqrt[n+1]{a_{1}.a_{2}....a_{n+1}})$Lấy $a_{n+1}=a=\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ , suy ra:$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})+f(a) \ge (n+1)f(a)$$\Rightarrow f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(a)=nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}})$.-Hai bất đẳng thức trên là trường hợp nhỏ của bất đẳng thức này. $\blacksquare$

Ta có thể biến đổi tương đương bài này như sau:$ 2(x^2-2x+4)+9\sqrt{x^2-2x+4}-4\sqrt{x^2-2x+4}-18=0$$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-2x+4}-2)(2\sqrt{x^2-2x+4}+9)=0$Đến đây việc giải pt đã trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!

Ta có thể biến đổi tương đương bài này như sau:$ 3(x^2-2x+4)+11\sqrt{x^2-2x+4}-6\sqrt{x^2-2x+4}-22=0$$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-2x+4}-2)(3\sqrt{x^2-2x+4}+11)=0$Đến đây việc giải pt đã trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$3(a^4+b^4+c^4)+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \ge 2(a^2+b^2+c^2^2)$ $\Leftrightarrow (a-b)^2[\frac{a^2}{2}+2ab]+(b-c)^2[\frac{b^2}{2}+2bc]+(c-a)^2[\frac{c^2}{2}+2ca] \ge0$ Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$3(a^4+b^4+c^4)+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \ge 2(a^2+b^2+c^2)^2$ $\Leftrightarrow (a-b)^2[\frac{a^2}{2}+2ab]+(b-c)^2[\frac{b^2}{2}+2bc]+(c-a)^2[\frac{c^2}{2}+2ca] \ge0$ Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$