đây là với trường hợp $-\pi<x<\pi$
Biến đổi hàm số về dạng:
    $(2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y             (1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
      $(2y-1)^2+(y+2)^2\geq (3-4y)^2\Leftrightarrow 11y^2-24y+4\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\leq y \leq 2$.
Vậy, ta có:
-   $y_{\max}=2$, đạt được khi :
          $3\cos x-4\sin x=-5\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=1      (\frac{3}{5}=\sin \alpha; \frac{4}{5}=\cos \alpha)$
          $x-\alpha =\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$.
-   $y_{\min}=\frac{2}{11}$, đạt được khi:
           $7\cos x +24\sin x=-25\Leftrightarrow  \cos (x-\beta)=-1 .   (\frac{7}{25}=\cos \beta ; \frac{24}{25}=\sin \beta)$
           $\Leftrightarrow x-\beta =\pi+2k\pi\Leftrightarrow x=\beta+\pi+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

pt$\Leftrightarrow (2y-1)\cos x-(y+2)\sin x=3-4y$
để phương trình trên có nghiệm thì: $(2y-1)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant (3-4y)^{2}$
$\Leftrightarrow 11y^{2}-24y+4\leq 0 \Leftrightarrow y\in [\frac{2}{11};2]$

Đáp số: $Maxy=2, Miny=\frac{2}{11}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

1)  Hoành độ đỉnh parabol $f(x)=-2x^2+x+a$ là $x_0=\frac{1}{a} \in [-1;1]$; hệ số của $x^2$ là $-1<0$.
Bởi vậy :
   $M=\mathop {\max}\limits_{[-1;1]} f(x)=f(\frac{1}{4})=a+\frac{1}{8};$
   $m= \mathop {\min}\limits_{[-1;1]}f(x)=\min \left\{ {f(-1);f(1)} \right\}=\min \left\{ {a-3;a-1} \right\}=a-3$
Suy ra $M-m=\frac{25}{8}$
2)  Khi $a$ thay đổi, hiển nhiên $U \supset [-\frac{25}{16};\frac{25}{16}]$
* Theo định lí ta có $\min ( \mathop {\max}\limits_{[-1;1]} f(x))=\frac{25}{16}$ đạt được khi $M+m=0 \Leftrightarrow  a=\frac{23}{16}$  

Xin được trả lời vấn đề của bạn như sau :
Thứ 1 : Người dùng nào đó đã không hiểu đáp án - hay câu hỏi mà bạn đưa ra. Thì họ có quyền báo cáo vi phạm để ban quản trị duyệt.
Thứ 2 : Admin cũng chưa duyệt đáp án đó của bạn ! Còn lời cảnh báo chất lượng thấp đó là khi người dùng hay Admin duyệt bài thấy Đáp án hay Câu hỏi đó của Bạn vi phạm gì đó thì có thể báo cáo vi phạm. Dòng thông báo đó sẽ được gửi phản hồi cho bạn !

Còn mục đích của Web hoctainha.vn là tất cả chúng mình đều học tập - chia sẻ kiến thức. Tất cả đều là Admin. Danh vọng càng nhiều thì chức năng quản trị sẽ cao.  Thân !!!

Do $c{\rm{os}}3{\rm{x}} = 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x - 3c{\rm{osx}},1 + c{\rm{os}}2{\rm{x}} = 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x$ nên phương trình đã cho tương đương với:
    $4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x - 3c{\rm{osx}} - 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + mc{\rm{osx}} = 0$
$\Leftrightarrow c{\rm{osx}}\left( {4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2c{\rm{osx}} + m - 3} \right) = 0$
Với $- \frac{\pi }{2} < x < 2\pi$ phương trình $c{\rm{osx = 0}}$ có hai nghiệm ${x_1} = \frac{\pi }{2}$, ${x_2} = \frac{{3\pi }}{2}$
$\Rightarrow$cần chọn m để phương trình $4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2c{\rm{osx}} + m - 3 = 0$ có đúng $5$ nghiệm thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right)$ và khác ${x_1},{x_2}$.
Đặt $t = \cos {\rm{x}}$, khi đó cần chọn m để phương trình $f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t + m - 3 = 0$ có hai nghiệm ${t_1},{t_2}$ với $- 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1$
$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\\ f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right) < 0\\ \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 3$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có: $[\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}]^2$
$=(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c})^2$$\leq(1^2+1^2+1^2)(p-a+p-b+p-c)=3p$
$\Leftrightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} \leq \sqrt{3p}   (1)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi:  $\frac{\sqrt{p-a}}{1}=\frac{\sqrt{p-b}}{1}=\frac{\sqrt{p-c}}{1}\Leftrightarrow a=b=c$.
Ta đi chứng minh $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}$  bằng phép biến đổi tương đương, cụ thể:  $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}$
$\Leftrightarrow p<p-a+p-b+p-c+2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{(p-c)(p-a)}$
$\Leftrightarrow 0<2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{(p-c)(p-a)}$, luôn đúng.

Ta viết lại hàm số như sau:  $y = 2 - \frac{3}{{x + 2}}$        $(1)$       
Đặt $X = x + 2,{\rm{ Y}} = y - 2$, khi đó $(1)$ trở thành:  $Y = - \frac{3}{X}$            $(2)$
Ta có $Y' = 3/{X^2} \Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến với $\forall X \ne 0$

Đường thẳng $y = - x + m$ trong hệ tọa độ mới trở thành
$Y + 2 = - (X - 2) + m \Leftrightarrow Y = - X + m$.

Đường thẳng này luôn đi vào các góc vuông $II$ và $IV$ với mọi m nên luôn cắt đồ thị hàm số $(2)$ tại $2$ điểm phân biệt $A, B$  với mọi $m$.
Hypebol $(2)$ cân nên khoảng cách giữa hai đỉnh bé nhất, suy ra đường thẳng $Y = - X + m$ đi qua $2$ đỉnh của hyperbol $(2)$ khi $m = 0$.
Tọa độ đỉnh của $(2)$ là $X = - Y = \pm \sqrt 3$
Do đó:  $AB = 2\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2}}  = 2\sqrt 6$

Giải phương trình
$4cos^3x - 4sin^3x+ 3\sin x - 3\cos x = -1$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$\begin{array}{l} t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}),\,\,(\left| t \right| \le \sqrt 2 ) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\\ (*) \Leftrightarrow  - 1 + t(1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2}) = \frac{3}{2}({t^2} - 1)\\ \Leftrightarrow (t - 1)({t^2} + 4t + 1) = 0\\ \Leftrightarrow {t_1} = 1,\,{t_2} =  - 2 + \sqrt 3 ,\,{t_3} =  - 2 - \sqrt 3 \end{array}$
Với $t = 1 \Rightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,(k \in Z)$
Với $t = \sqrt 3  - 2 \Rightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3  - 2}}{{\sqrt 2 }} = \sin \alpha$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3  - 2}}{{\sqrt 2 }},\,k \in Z)$
Với  $t =  - 2 - \sqrt 3$  (loại)
Vậy nghiệm cần tìm là: $\left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \alpha  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3  - 2}}{{\sqrt 2 }},\,k \in Z)$

$(1)  \Leftrightarrow \sin x  (1+\sin x )+\cos (1-\sin ^2 x )=0$
        $\Leftrightarrow (1+\sin x )(\sin x +\cos x -\sin x \cos x )=0$
        $\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} =  - 1                                   (1)\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx  +  }}\cos x - \sin {\rm{x}}\cos x = 0   (2)  \end{array} \right.$
$(2) \Leftrightarrow  x=-\frac{ \pi}{ 2} +2k\pi$
Giải $(3)$:   Đặt $\sin x +\cos x =t.$  Điều kiện $|t|  \leq  \sqrt{2}      (A)$
       $\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos  \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t.$  Ta được $\sin x \cos x = \frac{t^2-1 }{ 2}$
Phương trình  $(3)$  có dạng   $t^2 -2t -1=0  \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm t}\nolimits}  = 1 - \sqrt 2     \in  (A) \\ {\mathop{\rm t}\nolimits}  = 1 + \sqrt 2    \notin    (A) \end{array} \right.$
Vậy phương trình $(3)$ có nghiệm của phương trình:
         $\sqrt{2} \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 - \sqrt{2}    \Leftrightarrow  \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)= \frac{ 1-\sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \cos  \alpha$
          $\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x - \frac{\pi }{4} = \alpha  + 2k\pi \\ x - \frac{\pi }{4} =  - \alpha  + 2k\pi \end{array} \right.  \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + \alpha  + 2k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} - \alpha  + 2k\pi \end{array} \right.$
Đáp số :  phương trình $(1)$ có $3$ họ nghiệm  $\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} \pm \alpha  + 2k\pi \end{array} \right.$
Với  $\cos \alpha = \frac{1-\sqrt{2}  }{ \sqrt{2} }$