|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
8) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }$$\dfrac{\sqrt{x^2-7x+12}}{3\left| {x} \right|-17}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{\sqrt{x^2-7x+12}}{-3x-17}$, do $x \to -\infty\Rightarrow x < 0.$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty
}$$\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2-7x+12}}{x}}{\dfrac{-3x-17}{x}}=\mathop {\lim
}\limits_{x \to -\infty
}\dfrac{-\sqrt{1+\dfrac{12}{x^2}-\dfrac{7}{x}}}{-\dfrac{17}{x}-3}=\dfrac{1}{3}$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
7) $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{\sqrt{x^2+4x+5}+2x+1}{\sqrt{3x^2-2x+7}+x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty
}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+4x+5}+2x+1}{x}}{\dfrac{\sqrt{3x^2-2x+7}+x}{x}}=\mathop
{\lim }\limits_{x \to -\infty
}\dfrac{-\sqrt{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^2}}+2+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{7}{x^2}}+1}=\dfrac{1}{1-\sqrt 3}$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
6) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }$$\dfrac{5x+3\sqrt{1-x}}{1-x}$$=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }$$\dfrac{\dfrac{5x+3\sqrt{1-x}}{x}}{\dfrac{1-x}{x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{5-3\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}}}{\dfrac{1}{x}-1}=-5$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
5) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }$ $\dfrac{4x-1}{\sqrt{4x^2+3}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{\dfrac{4x-1}{x}}{\dfrac{\sqrt{4x^2+3}}{x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{4-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{4+\dfrac{3}{x^2}}}=-2$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
4) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }$ $\dfrac{\sqrt{x^2+2x}+3x}{\sqrt{4x^2+1}-x+2}$$=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2x}+3x}{x}}{\dfrac{\sqrt{4x^2+1}-x+2}{x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+3}{-\sqrt{4+\dfrac{1}{x^2}}-1+\dfrac{2}{x}}=-\dfrac{2}{3}$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
3) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}$$\dfrac{\sqrt{2x+2}-\sqrt[3]{7x+1}}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{2x+2}-2}{x-1}-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{\sqrt[3]{7x+1}-2}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{2}{\sqrt{2x+2}+2}-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{7}{\sqrt[3]{(7x+1)^2}+2\sqrt[3]{7x+1}+4}$
$=\dfrac{2}{4}-\dfrac{7}{12}=-\dfrac{1}{12}$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
2) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}$$\dfrac{\sqrt[4]{4x-3}-1}{x-1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{\sqrt[]{4x-3}-1}{(x-1)(\sqrt[4]{4x-3}+1)}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{4x-4}{(x-1)(\sqrt[4]{4x-3}+1)(\sqrt[]{4x-3}+1)}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\dfrac{4}{(\sqrt[4]{4x-3}+1)(\sqrt[]{4x-3}+1)}$
$=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
1) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -1}$$\dfrac{\sqrt[3]{x}+x^2+x+1}{x+1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to -1}\dfrac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}+\mathop {\lim }\limits_{x \to -1}\dfrac{x^2+x}{x+1}$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to -1}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}+\mathop {\lim }\limits_{x \to -1}x$
$=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bài toán chia hết
|
|
|
|
Cách 2 :
Đem đa thức $f(x)=x^{3} + ax + b$ chia cho $x^2+x-2$ theo cách chia đa thức thông thường ở lớp 8 thì ta được đa thức dư là $(a+3)x+b-2$
Muốn $f(x)=x^{3} + ax + b$ chia hết cho $x^2+x-2$ thì đa thức dư phải bằng $0$ với mọi $x$, tức là
$\begin{cases}a+3= 0\\ b-2= 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-3\\ b= 2\end{cases}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bài toán chia hết
|
|
|
|
Cách 1 :
Ta có $x^2+x-2=0\Leftrightarrow (x+2)(x-1)=0$. Như vậy đa thức $x^2+x-2$ có hai nghiệm $-2,1.$
Do vậy muốn đa thức $f(x)=x^{3} + ax + b$ chia hết cho $x^2+x-2$ thì $f(x)$ cũng phải có hai nghiệm trên.
Tức là $\begin{cases}f(1)=0 \\ f(-2)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1+a+b=0 \\ -8-2a+b=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-3 \\ b= 2\end{cases}$
|
|
|
|
giải đáp
|
giới hạn của hàm số
|
|
|
|
b $ \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{(3-2x)^3(1-3x^2)}{7x^5-8x^2+3}$
$ =\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{\dfrac{(3-2x)^3}{x^3}.\dfrac{(1-3x^2)}{x^2}}{\dfrac{7x^5-8x^2+3}{x^5}}$
$ =\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{\left ( \dfrac{3}{x}-2 \right )^3.\left ( \dfrac{1}{x^2}-3 \right )^2}{7-\dfrac{8}{x^3}+\dfrac{3}{x^5}}$
$=\dfrac{(-2)^3.(-3)^2}{7}$
|
|
|
|
giải đáp
|
giới hạn của hàm số
|
|
|
|
a. $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-1})$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(\sqrt{x^2+1}-x)-\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(\sqrt[3]{x^3-1}-x)$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}-\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2}$
$=0-0=0$
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
c) $u_n=\dfrac{3n^2+5}{n^2-1}=\dfrac{3(n^2-1)+8}{n^2-1}=3+\dfrac{8}{n^2-1}$
Suy ra $u_{n+1}=3+\dfrac{8}{(n+1)^2-1}$. Ta có
$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{8}{(n+1)^2-1}-\dfrac{8}{n^2-1}<0
\quad \forall n $, vì $(n+1)^2-1>n^2-1$.
$\Rightarrow u_{n+1}<u_{n}\Rightarrow \quad \forall n$ dãy này là dãy giảm.
Mặt khác dễ có $3< u_n=3+\dfrac{8}{n^2-1}\le 3+\dfrac{8}{2^2-1}=3+\dfrac{8}{3} \quad \forall n\ge 2$ nên nó bị chặn bởi $3$ và $\dfrac{17}{3}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
c) $u_n=\dfrac{7n+5}{5n+7}$
Suy ra $u_{n+1}=\dfrac{7(n+1)+5}{5(n+1)+7}=\dfrac{7n+12}{5n+12}$. Ta có
$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{7n+12}{5n+12}-\dfrac{7n+5}{5n+7}=\dfrac{24}{(7n+5)(5n+7)}>0
\quad \forall n $
$\Rightarrow u_{n+1}>u_{n}\Rightarrow \quad \forall n$ dãy này là dãy tăng.
Mặt khác dễ có $0 < u_n=\dfrac{7n+5}{5n+7}<\dfrac{7}{5}$ nên nó bị chặn bởi $0$ và $\dfrac{7}{5}$.
|
|
|
|
giải đáp
|
toán đại số 11
|
|
|
|
b) $u_n=\dfrac{n}{n^2+5}$
Suy ra $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+5}$. Ta có
$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+5}-\dfrac{n}{n^2+5}=-\dfrac{n^2+n-5}{(n^2+5)((n+1)^2+5)}<0 \quad \forall n \ge 2$, vì $n^2+n-5 \ge 2^2+2-5>0$
$\Rightarrow u_{n+1}<u_{n}\Rightarrow \quad \forall n \ge 2$ dãy này là dãy giảm kẻ từ số hạng thứ hai.
Mặt khác dễ có $0 < u_n=\dfrac{n}{n^2+5}<\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}<1$ nên nó bị chặn bởi $0$ và $1$.
|
|