Ta biết rằng tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên cũng bằng bình phương tỉ số chu vi.
Đặt $BC=a,AC=b,AB=c, $. Gọi $AMN$ là tam giác nhận được từ tiếp tuyến song song với $BC$.
Gọi nửa chu vi của $\triangle ABC, \triangle AMN$ lần lượt là $p, p_1.$ Gọi $H,K$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tâm $I$ xuống $AB,AC$.
Ta dễ có điều sau
$2AH=2AK=AH+AK=b+c-a\Rightarrow 2p_1=AD+AE+DE=AH+AK=b+c-a$
Như vậy
$\dfrac{S_1}{S}=\left (\dfrac{p_1}{p} \right )^2=\left (\dfrac{b+c-a}{a+b+c} \right )^2$
Tương tự như vậy và ta có
$\dfrac{S_1+S_2+S_3}{S}=\dfrac{(b+c-a)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2}{(a+b+c)^2}$
Nhắc lại không cm BĐT quen thuộc $x^2+y^2+x^2 \ge \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2  \quad x,y,z.$
Do đó
$(b+c-a)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2 \ge \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$
 Vậy
 $\min \dfrac{S_1+S_2+S_3}{S}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.

Một tài liệu rất hay và bạn có thể tìm được giải thích chi tiết cho phép đặt ẩn phụ ở trên nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113295/phuong-phap-dat-an-phu-de-giai-phuong-trinh-co-hai-phep-toan-nguoc-nhau

Để giải những phương trình mà có hệ số hữu tỷ ta thường biến đổi chúng về dạng các hệ số nguyên
$\frac{1}{2}x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x^2-4x+2=0$
Đến đây nếu trong phạm vi lớp $9$ thì có hai cách giải thông thường

$\bullet$ $\textbf{Cách 1}$. Sử dụng công thức nghiệm $\Delta.$
Ta có $\Delta = b^2-4ac=4^2-4.1.2=8>0$
Vậy Pt có hai nghiệm 
$$\begin{matrix} x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{4+\sqrt 8}{2}=2+\sqrt 2\\x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{4-\sqrt 8}{2}=2-\sqrt 2 \end{matrix}$$
$\bullet$ $\textbf{Cách 2}$. Phaan tích thành nhân tử
Ta có PT
$\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\Leftrightarrow (x^2-4x+4)-2=0\Leftrightarrow (x-2)^2-(\sqrt 2)^2=0\Leftrightarrow (x-2+\sqrt 2)(x-2-\sqrt 2)=0$
Vậy Pt có hai nghiệm 
$$\begin{matrix} x_{1}=2+\sqrt 2\\x_{2}=2-\sqrt 2 \end{matrix}$$

Điều kiện: $2x+15 \geq 0: (1) \Leftrightarrow 2(4x+2)^2=\sqrt{2x+15}+28                 (2)$
Đặt $\sqrt{2x+15}=4y+2 \Rightarrow (4y+2)^2=2x+15 $
Điều kiện $2x+15 \geq 0 \Leftrightarrow y \geq -\frac{1}{2}                              (3)$
Phương trình $(2)$ trở thành $(4x+2)^2=2y+15$
Ta có: $\begin{cases}(4x+2)^2=2y+15                    (4) \\ (4y+2)^2=2x+15                  (5) \end{cases}$
Trừ vế theo vế các phương trình $(4),(5)$ có: $(x-y)(8x+8y+9)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=y                             (6-1)}\\
{x=-y-\frac{9}{8}                (6-2)}
\end{array}} \right.$
+ Thay $(6-1)$ vào $(5)$ có $16y^2+14y-11=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=\frac{1}{2}}\\
{y=-\frac{11}{8} (L)}
\end{array}} \right.$
Với $y=\frac{1}{2}$, thế vào $(6-1)$ có $x=\frac{1}{2}                 (7)$
+ Thay $(6-2)$ vào $(4)$ có $f(y)=16y^2+18y-\frac{55}{4}=0             (8)$
Để ý: $f(\frac{1}{2})=-\frac{37}{4}<0 \Rightarrow$ Phương trình $(8)$ có $2$ nghiệm $y_1,y_2:y_1<-\frac{1}{2}<y_2$
Kết hợp với $(3)$ có $y=\frac{-9+\sqrt{221}}{16}$, vào $(6-2)$ có $x=\frac{9+\sqrt{221}}{16}      (9)$
+ Từ $(8),(9) \Rightarrow$ Tập hợp của phương trình $(1)$ là $x=\frac{1}{2}; x=-\frac{9+\sqrt{221}}{16}$