a)
$PQ$ là giao tuyến của $(SBC) $ và $(\alpha) \Rightarrow PQ \parallel BC$
$NM$ là giao tuyến của $(ABCD) $ và $(\alpha) \Rightarrow NM \parallel BC$
Suy ra $PQ \parallel NM$ nên $MNPQ$ là hình thang.
Mặt khác tương tự như trên ta cũng chứng minh được
$MQ \parallel SA, NP \parallel SD.$
Trong $\triangle SAB$ có $MQ \parallel SA\Rightarrow MQ < SA =AD < MN$ nên $MNPQ$ không thể là hình bình hành.
Mà theo tính chất đối xứng $MQ=NP$ suy ra $MNPQ$ là hình thang cân với đáy lớn $MN$.

b)
Theo giả thiết đề bài thì thực chất $IJ$ là giao tuyến của $(\alpha)$ và $(ABCD)$.
Mặt khác từ câu a) thì $(EF) \in (\alpha)$ và $(EF) \in (ABCD)$ nên $EF$ cũng là giao tuyến của $(\alpha)$ và $(ABCD)$.
 Vậy $EF \equiv IJ$. Ta có đpcm.

a) Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ và cắt $CD,CB$ kéo dài tại $H,K$ thì $HK$ là đường thẳng cố định vì $D, B$ là trung điểm của $CH,CK$.
Mặt khác thì $HK$ nằm trong mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $BD$ nên $HK \in (\alpha)$.

b) Điểm $M $ là giao điểm của $SC$ với $(EG_1G_2)$ thì điểm $M$ chính là giao điểm của $EG_1$ và $SC$ .
Áp dụng Định lý Menelauyt cho $\triangle SCR$ với cát tuyến $E, M, G_1$ ta có
$\frac{EC}{ER}.\frac{MS}{MC}.\frac{G_1R}{G_1S}=1\Rightarrow \frac{MS}{MC}=\frac{G_1S}{G_1R}.\frac{ER}{EC}=2.\frac{ER}{EC}$
Tương tự ta cũng có
$ \frac{NS}{NC}=2.\frac{EF}{ED}$
Mặt khác do $FR \parallel CD$ nên $\frac{EF}{ED}=\frac{ER}{EC}$.
Vậy $ \frac{MS}{MC}=\frac{NS}{NC}\Rightarrow MN \parallel  CD \Rightarrow $ đpcm.

a) Gọi $SG_1, SG_2$ cắt $BC,AD$ tại $R, F$ thì $R,F$ là trung điểm của $BC,AD$.
 Ta có 
 $SG_1 : SR = SG_2 : SF =2 : 3 \Rightarrow G_1G_2 \parallel RF \parallel  AB \parallel  CD \Rightarrow $ đpcm.