CMR: đối với hệ hai phương trình thì phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss- Seidel đồng thời hội tụ hoặc phân kì.

Cho $A=$      
              
Tìm miền hội tụ của phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss- Seidel cho hệ phương trình $Ax= b$

B=     
    
Với $\alpha, \beta$ nào để $x^{k+1}$ = B.$x^{k}$+C hội tụ 

Gỉa sử mp ($\alpha$) cần tìm chứa O() và đường thẳng $\Delta$
Lấy 1 điểm G $\in $ $\Delta$ có được $\overrightarrow{OG}$
=> Vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mp ($\alpha$) chính là tích có hướng của $\overrightarrow{OG}$ với vector chỉ phương của $\Delta$ 
=> phương trình mp ($\alpha$) đi qua O và có VTPT $\overrightarrow{n}$ 

c/ QP//MN (cùng //DC)
Có: QM//SA , MN//AB, SA vuông góc với AB => QM vuông góc với MN
=> QMNP là hình thang vuông tại Q và M
=> $S_{QMNP}$= $\frac{(QP+MN).QM}{2}$ = $\frac{(1/3.a+a).a}{2}$= $\frac{2a^{2}}{3}$

b/ Có: $\frac{DQ}{DS}=\frac{DM}{DA}$= 1/3 => MQ//SA
Trong mp(ABCD) kẻ MN//AB (N thuộc BC)
Mp($\alpha$) cần tìm chính là mp(QMN)
Giao tuyến của ($\alpha$) với (SCD) là QP// DC (P$\in $SC)                 (2) 
Như vậy: Q$\in $($\alpha$)  (đpcm)
Lại có: từ (1),(2)=> (PQK)// (ABCD)      (đpcm) 

a/ Có: BC//AD => giao tuyến của (QBC) và (SAD) là đường thẳng qua Qvà song song với AD cắt SA tại K => QK//AD (1)
=> Giao tuyến của (QBC) và (SAD) là QK
 

Có 10 cặp vợ chồng( mỗi cặp là 1 phụ nữ, 1 đàn ông), phụ nữ không bắt tay với phụ nữ, vợ chồng không bắt tay nhau
TH1: mỗi người phụ nữ sẽ bắt tay với 9 người đàn ông còn lại (không phải chồng mình), có 9 người phụ nữ như vậy.
Do đó có: 9.9=81 cái bắt tay. 
TH2:  10 người đàn ông bắt tay nhau => có 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 cái bắt tay
Vậy tổng số cái bắt tay là :45+81=126 cái bắt tay
 

a/ AA' vuông hóc với mp (ABC)=> ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng
Gọi G là hình chiếu vuông góc của N xuống mp (ABC) => G là trung điểm của BC
Xét $\Delta$NGM vuông tại G, $\widehat{NMG}$ =$\alpha$
=> NG= MN. sin$\widehat{NMG}$= a. sin$\alpha$
 MG= a.cos$\alpha$
 => Hình lăng trụ có các cạnh bên: AA'= BB'= CC'= NG= a. sin$\alpha$
Các cạnh mặt đáy hình lăng trụ: AC=AB= 2.MG= 2.a.cosα

BC= AC.$\sqrt{2}$= 2.$\sqrt{2}$.a.cosα


 

a/ Có MN là đường trung bình trong hình bình hành ABCD => MN// BC, MN// AD => MN// (SBC), MN//(SCD)    (đpcm)
b/ Có IM là đường trung bình trong $\Delta$SAB => IM// SB
Mặt khác, MN// BC
Mà: IM, MN nằm trong (IMN); SB, BC nằm trong(SBC)
=> (SBC)//(IMN)
=> SB, SC // (IMN)     (đpcm) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác: $a^{2}$= $b^{2}$+$c^{2}$- 2.bc.cosA= $3^2$ => a=4$\sqrt{2}$
Do cosA= $3/5$=>  sinA= $4/5$
=> S=$\frac{1}{2}$.b.c. sinA= 14= $\frac{1}{2}$.HA.a => HA= $\frac{7}{\sqrt{2}}$  (HA là đường cao hạ từ đỉnh A)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R thỏa mãn hệ thức lượng:
a= 2R.sinA => R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 

$V_{SABC}$= 1/3. SA.$S_{ABC}$= 1/6.2a. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.a= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Có AM là đường cao trong $\Delta $SAB vuông tại A => $\frac{1}{AM^{2}}$= $\frac{1}{AS^{2}}$+$\frac{1}{AB^{2}}$=> $AM^{2}$= $\frac{4a^{2}}{5}$=> $SM^{2}$= $\frac{16a^{2}}{5}$ => SM= $\frac{4a}{\sqrt{5}}$
Tương t ự: SN= $\frac{4a}{\sqrt{5}}$
Mà: SB=SC= a$\sqrt{5}$
=> $\frac{SM}{SB} $=$\frac{SN}{SC}$=$\frac{4}{5}$
=> $\frac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}$=  $\frac{SM}{SB} $.$\frac{SN}{SC}$=$\frac{16}{25}$
$V_{SAMN}$ = $\frac{8\sqrt{3}.a^{3}}{75}$
=> $V_{ABCNM}$= $V_{SABC}$-  $V_{SAMN}$ = $\frac{3\sqrt{3}.a^{3}}{50}$

Các số nguyên từ 1000 đến 9999 mà các chữ số của nó tăng dần từ trái sang phải được hiểu là các số có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd}$sao cho các chữ số a,b,c,d được chọn từ tập $\left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}$. Chọn 4 chữ số bất kì trong 9 chữ số ta luôn được 1 cách sắp xếp sao cho các chữ số của nó tăng dần từ trái sang phải. Như vậy số số hạng thỏa mãn là: $C^{4}_{9}$=126 số

(Giải thích thêm: Chữ số 0 không được chọn do: số 0 đứng đầu sẽ thành số có 3 chữ số, chữ số 0 cũng không đứng ở các vị trí còn lại vì như vậy sẽ không thỏa mãn giả thiết các chữ số tăng dần từ trái sang phải.)