|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(2).
|
|
|
|
Do điều kiện bài toán nên ta đưa về $$\dfrac{\tan a}{a} < \dfrac{\tan b}{b}$Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in (0,\ \dfrac{\pi}{2})$$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biếnSuy ra dpcm
Do điều kiện bài toán nên ta đưa về: $\dfrac{\tan a}{a} < \dfrac{\tan b}{b}$Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biếnSuy ra dpcm
|
|
|
|
sửa đổi
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức.
|
|
|
|
Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \in R$$f'(x) = 1 - \sin x \ge 0 \ \forall x \in R$Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge 0 \forall x \in R$$\Rightarrow \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 \ge 0$$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$ĐPCM
Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \in R$$f'(x) = 1 - \sin x \ge 0 \ \forall x \in R$Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge 0 \forall x \in R$ $\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$ĐPCM
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu a,b,c) Có $\widehat{A}+\widehat{B}=\pi-\widehat{C}$$\Rightarrow sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC$$\Rightarrow cos(A+B)=cos(\pi-C)=-cosC$$\Rightarrow sin(\frac{A+B}2)=sin(\frac{\pi}2-\frac{C}2)=cos(\frac{C}2)$
Câu a,b,c) Có $\widehat{A}+\widehat{B}=\pi-\widehat{C}\\\Rightarrow \sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C\\\Rightarrow \cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos C\\\Rightarrow \sin\left(\frac{A+B}2\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{C}2\right)=\cos\dfrac{C}2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu d)$cotA+cotB=\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$$=\frac{sinAcosB+sinBcosA}{sinAsinB}$$=\frac{sin(A+B)}{sinAsinB}$
Câu d)$\cot A+\cot B=\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}\\=\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\sin A\sin B}\\=\dfrac{\sin\left(A+B\right)}{\sin A\sin B}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu e)$sin2A+sin2B+sin2C= sin2A+sin2B+sin(2\pi-2A-2B)$$=sin2A+sin2B-sin(2A+2B)$$=2sin(A+B).cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)$$=2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]$$=2sin(A+B).2sinA.sinB$$=4sinAsinBsinC$
Câu e)$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin 2A+\sin 2B+\sin\left(2\pi-2A-2B\right)\\=\sin 2A+\sin 2B-\sin (2A+2B)\\=2\sin(A+B)\cos(A-B)-2\sin(A+B)\cos(A+B)\\=2\sin(A+B)[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\\=2\sin(A+B)\times2\sin A\sin B\\=4\sin A\sin B\sin C$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu f)$sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)$$=2sin\frac{A+B}2cos\frac{A-B}2+2sin\frac{A+B}2cos\frac{A+B}2$$=2sin\frac{A+B}2[cos\frac{A-B}2+cos\frac{A+B}2]$$=2cos\frac{C}2.2cos\frac{A}2.cos\frac{B}2$$=4cos\frac{A}2cos\frac{B}2cos\frac{C}2$
Câu f)$\sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\=2\sin\dfrac{A+B}2\cos\frac{A-B}2+2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A+B}2\\=2\sin\frac{A+B}2\left(\cos\frac{A-B}2+\cos\frac{A+B}2\right)\\=2\cos\frac{C}2\times2\cos\frac{A}2\cos\frac{B}2\\=4\cos\frac{A}2\cos\frac{B}2\cos\frac{C}2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu g) Có $cos2A+cos2B+cos2C+1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2C$$=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2(A+B)$$=2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]$$=2cos(A+B).2cosAcosB$$=-4cosAcosBcosC$$\Rightarrow cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC$
Câu g) Có $\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2C\\=2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2(A+B)\\=2\cos(A+B)[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\\=2\cos(A+B)\times2\cos A\cos B\\=-4\cos A\cos B\cos C\\\Rightarrow \cos2A+\cos2B+\cos2C=-1-4\cos A\cos B\cos C$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu h)Có $cosA+cosB+cosC-1=2cos\frac{A+B}2cos\frac{A-B}2+2sin^2\frac{C}2$$=2sin\frac{A+B}2sin\frac{A-B}2+2sin^2\frac{A+B}2$4$=2sin\frac{A+B}2[sin\frac{A-B}2+sin\frac{A+B}2]$$=2sin\frac{C}2.2sin\frac{A}2.sin\frac{B}2$$=4sin\frac{A}2sin\frac{B}2sin\frac{C}2$$\Rightarrow cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}2sin\frac{B}2sin\frac{C}2$
Câu h)Có $\cos A+\cos B+\cos C-1=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\sin^2\dfrac{C}2\\=2\sin\dfrac{A+B}2\sin\dfrac{A-B}2+2\sin^2\dfrac{A+B}2\\=2\sin\dfrac{A+B}2\left(\sin\dfrac{A-B}2+\sin\frac{A+B}2\right)\\=2\sin\dfrac{C}2\times2\sin\frac{A}2\sin\frac{B}2\\=4\sin\frac{A}2\sin\frac{B}2\sin\frac{C}2\\\Rightarrow \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}2\sin\frac{B}2\sin\frac{C}2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu i)$sin^2A+sin^2B+sin^2C=\frac{1-cos2A+1-cos2B+1}2+1-cos^2C$$=1+\frac{1}2(cos2A+cos2B)+1-cos^2C$$=2+cos(A+B)cos(A-B)-cos^2C$$=2+cos(A+B).cos(A-B)-cos^2(A+B)$$=2+cos(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]$$=2-cos(A+B).2cosAcosB$$=2+2cosAcosBcosC$
Câu i)$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\dfrac{1-\cos2A+1-\cos2B+1}2+1-\cos^2C\\=1+\dfrac{1}2\left(\cos2A+\cos2B\right)+1-\cos^2C\\=2+\cos\left(A+B\right)\cos(A-B)-\cos^2C\\=2+\cos(A+B)\cos(A-B)-\cos^2(A+B)\\=2+\cos\left(A+B\right)\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]\\=2-\cos(A+B)\times2\cos A\cos B\\=2+2\cos A\cos B\cos C$
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Mới học lượng giác!!! Giúp cm mấy cái cơ bản
|
|
|
|
Câu này chắc nhằm đề: $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\Rightarrow \sin (\frac{A+B}{2})=\sin (\frac{\pi-C}{2})=\cos \frac{C}{2}$
Câu này chắc nhằm đề: $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\Rightarrow \sin \left(\dfrac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi-C}{2}\right)=\cos \frac{C}{2}$
|
|
|
|
|
|