Giải phương trình: $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-3x\right)\right)=\dfrac{\left(\sin x+\cos x\right)^2-2\sin^3x}{1+\cot^2x}$$

Cho tứ diện đều $ABCD$ và một điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm GTNN của $$S=PA+PB+PC+PD$$

Tìm $m$ để hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x=1\\x^3-3y-3xy=m+2 \end{array} \right.$$có nghiệm thực.

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực thỏa mãn $2c\left(a^2+b^2\right)+b\left(ab+c\right)+c\left(ac+b\right)>b\left(b^2+c^2\right)+2ac\left(1+2b\right)$ với $3<ac,\,bc<6$ và $c\in\left[2;\,3\right].$ Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{2a-2b}{b-1}-\dfrac{2b-2}{a-3}-\dfrac{2a-6}{a-b}+9\sqrt[3]{(a-3)(1-b)(a-b)}$$

Giải phương trình: $$3+x^3=\sqrt[3]{6x^3+24x^2+28x+6}$$

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C):\,\left(x-4\right)^2+\left(y-\dfrac{9}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}$ và hai điểm $A\left(2;\,3\right)$ và $B\left( 6;\,6\right).$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn $(C)$ sao cho các đường thẳng $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H;\,AN$ và $BM$ cắt nhau tại $C.$ Tìm tọa độ điểm $(C)$ biết tọa độ điểm $H\left(4;\,\dfrac{5}{2}\right).$

Nhận dạng $\Delta ABC$ biết: $\dfrac{2\cos A+\cos C}{2\cos B+\cos C}=\dfrac{\sin B}{\sin C}.$

Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3=2x^2-6x-3y+4\\x^2+y^2-6x+y-10=\sqrt{5+y}-\sqrt{4x+y} \end{array} \right.$$

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh là $a,$ gọi $M$ là trung điểm $SD.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $B$ và $M$ song song với $AC$ cắt $SA,\,SC$ lần lượt tại $P,\,Q.$
    a) Trình bày cách vẽ thiết diện. Chứng minh rằng: thiết diện này có hai đường chéo vuông góc.
    b) Tìm điểm cách đều $S.ABCD$
    c) Xác định góc giữa mặt bên, cạnh bên với mặt đáy.
    d) Chứng minh rằng: $(SAC)\perp (SBD).$

Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai tiệm cận và cắt $(C):\,y=\frac{-3x^2-9x-5}{4x+4}$tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB$ là ngắn nhất?