|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 7: Nhận xét: Chắc chắn xuất phát từ phương trình (1) bằng việc quy đồng mãu thu gọn thì đây là phương trình bậc 2 đối với biến y. Khi đó, bạn đọc có thể tính $\Delta y$ để khảo sát !!. Đây là một trong những hướng ra đề mà anh nghĩ là có thể xẩy ra, vì nó chỉ có che dấu đi hình thức quen thuộc mà ta đã biết. Lời giải chi tiết : Điều kiện xác định $x\neq 1 ;y>0$ $x-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{y}{x+1}-\frac{1+y}{y}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1+y}{y}=\frac{y}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}$ $\Leftrightarrow \frac{xy+y+1}{y}=\frac{y(x+1)+1}{(x+1)^2}$ $\Leftrightarrow xy+y+1=0$ or $y=(x+1)^2$ Với $y=(x+1)^2$ thay vào (2) ta có: $\sqrt{8(x+1)+9}=(x+1)|x+1|+2$ Xét $x>-1$ đặt $t=x+1(t>0)$, ta có phương trình: $\sqrt{8t^2+9}=t^2+2\Leftrightarrow 8t^2+9=t^4+4t^2+4\Leftrightarrow t^4-4t^2-5=0\Leftrightarrow t^2=5$ $\Leftrightarrow t=\sqrt{5}\Rightarrow x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=5$ Xét $x<-1$ đặt $t=x+1(t<0)$, ta có phương trình : $\sqrt{8t^2+9}=-t^2+2\Leftrightarrow \begin{cases}8t^2+9=t^4-4t^2+4 \\ -t^2+2\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t^4-12t^2-5=0\\ t^2\leq 2\end{cases} \Rightarrow $ Vô nghiệm Với $(x+1)y=-1$ thay vào (2) ta có : $\sqrt{8y+9}+\frac{1}{y}\sqrt{y}-2=0(3)$ Vì $y>0\Rightarrow \sqrt{8y+9}>3$ nên (3) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(-1+\sqrt{5},5)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Cm:
|
|
|
|
đặt $x=\frac{1}{\sqrt{1+8a}}$ tương tự $y,z$ ta có $0<x,y,z<1$ và $a=\frac{1-x^2}{8x}$ do $abc=1$ nên ta có $8x^3y^3z^3=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$ Theo đề bài cần cm $x+y+z\geq 1$ Giả sử ngược lại $x+y+z<1$ ta có $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(z+y)[(x+y)+(x+z)]\geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$ tương tự rồi nhân vế theo về ta có: $8x^3y^3z=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 $ $\Rightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)$ Điều này mâu thuẫ với AM-GM do đó ta có điều phải chứng minh
|
|
|
|
giải đáp
|
Cho $a,b,c$ là các số thực ko âm, cm:
|
|
|
|
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ tương tự rôi cộng lại ta được $VT\geq 2\left ( \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c} \right )=2$ dấu bằng không xẩy ra |
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 6: Phân tích: Phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với biến x hoặc biến y. Do đó, ta tính thử $\Delta x$ nếu chính phương thì ok! Vấn đề sau khi nháp ta thu được $y=x-1$ và thay vào phương trình (2) ta được: $\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}$ Nhận xét: $x=0; x=-1$ là hai nghiệm thỏa mãn nên có thể đưa về $(x^2+x)A=0$ bằng cách nhân liên hợp. Vấn đề ở đây, do dưới phân số nên ta thử đặt ẩn phụ để đưa về hệ xem sao: $\begin{cases}\sqrt{x+1}=a\geq 0\\ \sqrt{4-5x}=b\geq 0 \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{9+a^2}\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=a^2-1 \\ b^2+5a^2==9 \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{a^2+9} \end{cases}$ Như vậy hệ của bài toán được đưa về việc giải hệ: $\begin{cases}b^2+5a^2=9(1) \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{a^2+9(2)} \end{cases}$ Ta có : $(2) \Leftrightarrow \frac{2(a+b+6)}{(a+3)(b+3)}=\frac{9}{a^2+9}$ $\Leftrightarrow 2(a+b+6)(a^2+9)=9(a+3)(b+3)$ Suy nghĩ tự nhiên là ta thử đưa về đối xứng $a^2+9=a^2+x(b^2+5a^2)+9-9x=(1+5x)a^2+x.b^2+(9-9x)$ Chọn $1+5x=x\Rightarrow x=-1/4$ nên : $a^2+9=\frac{-1}{4}.(a^2+b^2)+\frac{45}{4}$ Do đó: $(2) \Leftrightarrow (a+b+c)(45-(a^2+b^2))=18(a+3)(b+3)$ Đặt $a+b=S$ $ab=P$ ta có : $(S+6)(45-S^2+2P)=18(P+3S+9)$ Rõ ràng P là bậc nhất nên ta có thể viết P theo S : $2(S-3)P=s^3+6S^2+9S-108$ Rất may là lại có $S-3$ làm nhân tử. $2(S-3)P=(S-3)(S^2+9S+36)$ Vì $a;b\geq 0$ nên $2P\leq \frac{S^2}{2}<S^2+9S+36$ Nên ta chỉ cps $P=3$ hay $a+b=3$. Như vậy theo phân tích này ta có thể giải bài toán theo chính phân tích này hawojc là có thể đưa được thành nhân tử $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}-3$. Do đó ta có lời giải : Lời giải chi tiết: Điều Kiện $\begin{cases}2x-y\geq 0\\ x\leq \frac{4}{5} \end{cases}$ Biến đổi phương trình (1): $2x^2+y^2+x=3(xy+1)+2y$ $(x-y-1)(2x-y+3)=0\Leftrightarrow y=x-1$ Với $y=x-1$ thay vào phương trình (2) ta được : $\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}$ $2(x+10)(6+\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x})=9(9+3\sqrt{x+1}+3\sqrt{4-5x}+\sqrt{x+1}\sqrt{4-5x}$ $(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}-3)(9\sqrt{x+1}+9\sqrt{4-5x}-4x-41)=0(*)$ Do $x\in [-1;\frac{4}{5}]$ nên: $9\sqrt{x+1}+9{4-5x}-4x+41>0$ $(*) \Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}=3$ $2\sqrt{x+1}\sqrt{4-5x}=4+4x\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(-2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x})=0$ $x=-1$ or $x=0$ Với $x=-1 \rightarrow y=-2$ với $x=0 \rightarrow y=-1$ Đối chiếu với điều kiện và thay vào phương trình đầu ta thấy thỏa mãn . vậy hệ trên có các nghiệm $(x,y)=(0,-1);(-1,-2)$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 5: Dự Đoán:Phương trình (1) có thể coi là phương trình bậc hai đối với biến y nên ta có thể tính $\Delta y$ ngay để thử nghiệm. Phương trình (2) sự xuất hiện của tham số hình thức của hai biểu thức có hình thức giống nhau nên có thể sau khi thế đưa về phương pháp hàm số. Lời giải chi tiết: Điều kiện $x\in R$. Ta có : $xy(x+1)=x^3+y^2+x-y$ $\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^2-xy+x-y=0$ $\Leftrightarrow (x-y)(x^2-y+1)=0$ $\Leftrightarrow x=y$ or $y=x^2+1$ Với $y=x^2+1$ thay vào pt(2) ta thấy ngay nó vô nghiệm vì VT>0. Với $x=y$ thay vào (2) ta có: $3x(2+\sqrt{9x^2+3})=-(2x+1)(\sqrt{3+(2x+1)^2}+2)=0$ $\Leftrightarrow 3x(2+\sqrt{9x^2+3})=(-2x-1)(\sqrt{3+(-2x-1)^2}+2)=0$ Xét hàm $f(t)=t(\sqrt{t^2+2}+2)$ trên R ta có : $f'(t)=\sqrt{t^2+2}+2+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}>0$ Do đó, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $R$. Từ đó suy ra: $f(3x)=f(-2x-1)\leftrightarrow 3x=-2x-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(\frac{-1}{5},\frac{-1}{5})$ |
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 4: Nhận xét: Dĩ nhiên bài toán này cũng xất phát là sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử nhưng đã không còn ở dạng quen thuộc. Để có thể đánh giá nhanh thì ta sẽ thường bắt đầu từ phương trình (1) vì rõ rang nhìn phương trình (2) có vẻ phức tạp hơn phương trình (1) về bậc cũng như về số lượng căn thức. Điểm chú ý ở phương trình (1) là đại lượng $\sqrt{x-y}$ xuất hiện và cũng kèm theo đại lượng $x-y$ xuất hiện nên có một phản xạ tự nhiên của là :$\sqrt{x-y}=t\Rightarrow x=t^2+y$ Bây giờ phương trình (1) sẽ viết về hai ẩn $y , t$ ta có: $(1-y).t+t^2+y=2+(t^2-1).\sqrt{y}$ Nhìn lướt qua thì đây là phương trình bậc 2 đối với ẩn $t$ hay là $\sqrt{y}$, giả sử ta coi là $\sqrt{y}$, ta có: $(1-t)y+(t^2-1).\sqrt{y}+(-t^2-t+2)=0$ Một sự tình cờ nữa là ta có nhân tử $t-1$ nên ta có: $(t-1)[y+(t+1)\sqrt{y}-(t+2)]=0$ Dùng denta hoặc nhẩm nghiệm ta thấy ngay $\sqrt{y}=1;\sqrt{y}=-t-2$. Do đó ta có thể đưa ra lời giải sau: Lời Giải Chi Tiết:
Điều kiện $\begin{cases}y\geq 0\\ x\geq 2y\\ 4x\geq 5y+3\end{cases} (*)$ Ta có: $(1)\Leftrightarrow (y-x+1)(\sqrt{x-y}-1)+(x-y-1)(1-\sqrt{y})=0$ $(1-y)(x-y-1)(\frac{1}{\sqrt{x-y}+1}+\frac{1}{\sqrt{y}+1})=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {y=1} \\ {y=x-1} \right.$ *** Với $y=1$ phương trình (2) trở thành $9-3x=0 \Leftrightarrow x=3$ *** Với $y=x-1$ điều kiện (*) trở thành $1\leq x\leq 2$ Phương trình 2 trở thành: $2x^2-x-3=\sqrt{2-x}$ $\Leftrightarrow 2(x^2-x-1)+(x-1-\sqrt{2-x})=0$ $\Leftrightarrow (x^2-x-1)(2+\frac{1}{x-1+\sqrt{2-x}})=0$ $\Leftrightarrow x^2-x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ Đối chiếu (*) và kết hợp trường hợp trên ta có nghiệm của hệ là $(x,y)=(3,1);(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$ Nhận xét: lại nói về phương trình $2x^2-x-3=\sqrt{2-x}$ nếu như không biết sử dụng máy tính là một bất lợi trong trường hợp này. Những Lưu ý rằng,t acos thể bình phương hai vế đư về phương trình bậc hoặc đặt cái ăn là ẩn số mới và đưa về phương trình bậc 4 ngoài ra cũng có thể đưa về dạng hàm số. Như vậy, riêng phương trình này có những bốn cách giải, do bề dày của cuốn sách không cho phép nê hẹn các em và buổi học dành cho những em phấn đấu điểm 10 vào tháng 6 này nếu có thể. Ta tiếp tục vấn đề với hai bài thi trong đề thi thử năm nay.
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 3: Phân tích: Như thường lệ, ta sẽ phân tích phương trình (1). Có một điểm lưu ý là ở phương trình (1) đề là phương trình bậc 2 đối với biến x hay biến y. Dó đó, các em có thể chọn đới với biến nào cũng được. Và dù chọn biến nào thì kết quả của bài toán sau khi thu gọn cũng là một. Đồng thời, nếu như biến x mà có denta không chính phương thì hiển nhiên biến ý cũng vậy, các em không cần nháp! Giả sử với bài toán này ta coi là biến $y$: $(1)\Leftrightarrow y^2-(3x+2)y+2x^2+3x+1=0$ $\Delta y=(3x+2)^2-4(2x^2+3x+1)^2=x^2$ $\rightarrow y=\frac{(3x+2)\pm x}{2}$ Do đó, ta sẽ có 2 trường hợp là $y=x+1$ và $y=2x+1$ Ở mỗi trường hợp, thì ta đều thay vào phương trình (2) và thua được phương trình có bậc 2, căn bậc 2 phương pháp giải ở đây sẽ có:
+Đặt ẩn phụ +Bình phương 2 vế +Dùng hàm số +Nhân liên hợp
Bạn đọc tự nhìn nhận để chọn phương pháp cho phù hợp. Lưu ý rằng, khi sử dụng máy tihs ra nghiệm đẹp thì phưng pháp nhân liên hợp là phương pháp được ưu tiên hơn cả. Lời Giải Chi Tiết: Điều kiện $2x+y\geq 0$ ;$x+4y\geq 0$ Từ (1) ta được $y=x+1$ ; $y=2x+1$ *** Với $y=x+1$ ta thay vào (2) ta được $3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+1}$ $\Leftrightarrow 3(x^2-x)+(x+1-\sqrt{3x+1})+(x+2-\sqrt{5x+1})=0$ $\Leftrightarrow (x^2-x)(3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}})=0$ $\Leftrightarrow x^2-x=0 \Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1$ $\Rightarrow (x,y)=(0,1);(1,2)$ *** với $y=2x+1$ thay vào (2) ta được $3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}=0$ $\Leftrightarrow 3x+(\sqrt{4x+1}-1)+(\sqrt{9x+4}-2)=0$ $x(3+\frac{4}{\sqrt{4x+1}+1}+\frac{9}{\sqrt{9x+4}+2})=0\Leftrightarrow x=0$ Trùng với nghiệm ở trường hợp I vậy $(x,y)=(0,1);(1,2)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Bài 2: Lưu ý: phương trình hai là phương trình bậc hai đối với biến $y$ Hệ đã cho tương đương với: $\begin{cases}xy+x-2=0 (1)\\ (2x-y+1)(x^2-y)=0(2) \end{cases}$ *** Nếu$ 2x-y+1=0 \Leftrightarrow y=2x+1$ Thay vào (1) ta được : $x^2+x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow (x,y)=(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\sqrt{5});(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},-\sqrt{5})$ *** Nếu $x^2-y=0\Leftrightarrow x^2=y$ Thế vào (1) ta được : $x^3+x-2=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+2)=0\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow (x,y)=(1,1)$ Vậy hệ đã cho có các nghiệm $(x,y)=(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\sqrt{5});(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},-\sqrt{5});(1,1)$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Chuyên đề I , Ngày Số 1 : Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
|
|
|
|
Phân tích: rõ ràng nếu hiểu sâu bản chất của phương pháp sử dụng denta để phân tích thành nhân tử thì đạp vào mắt tại phương trình (1) có thể coi là phương trình bậc 2 đối với biến $x$. lưu ý rằng, việc các em mò mẫn nhân tử hay sử dụng máy tính đôi với phương trình (1) sẽ gây rắc rối !!! thay vào đó ta nên tính theo denta: $(1)\leftrightarrow 5y.x^2-2(2y^2+1)x+(3y^2-2y)=0$ $\rightarrow \Delta 'x=(2y^2+1)^2-(3y^2-2y).5y=-11y^4+14y^2+1$ Rõ ràng $\Delta 'x$ là không chính phương nên chắc chắn ta có thể khẳng định phương trình 1 không thể phân tích thành nhân tử. rõ ràng việc xét hàm đối với phương trình (1) cũng không thể được. Do đó, ta có vài sự lựa chọn sau + Kết hợp với phương trình (2) cộng đại số để đựa về phân tích thành tích được + không sử dụng PP phân tích mà sử dụng phương pháp khác như bđt chẳng hạn + Phương trình 2 có thể xử lý được Trong 3 hướng đi trên, hướng đi nào đơn giản ta làm trước. Dĩ nhiên là hướng thứ 3, do x,y đối xứng nên ta cứ đưa thử về tổng $x+y=a, xy=b$ . $b(a^2-2b)+2=a^2$ Ở đây ta có thể rút $a^2$ theo $b$: $2b^2+2=a^2-b.a^2$ $\rightarrow a^2(b-1)=2b^2-2$
Rõ ràng đến đây các em có thể thấy ngay có nhân tử $b-1$ chính là $xy-1$ do đó ta có lời giải chi tiết như sau Lời Giải Chi Tiết: Ta có: $(2)\leftrightarrow (xy-1)(x^2+y^2-2)=0\Leftrightarrow xy=1 | x^2+y^2=2$ Với $xy=1$ từ $(1)\Rightarrow y^4-2y^2+1=0\Leftrightarrow y=\pm 1 \Rightarrow (x,y)=(1,1);(-1,-1)$ Với $x^2+y^2=2$ từ $(1) \Rightarrow 3y(x^2+y^2)-4xy^2+2x^2y-2(x+y)=0 \Leftrightarrow 6y-4xy^2+2x^2y-2(x+y)=0 \Leftrightarrow (1-xy)(2y-x)=0 \Leftrightarrow xy=1| x=2y$ với $x=2y$ từ $x^2+y^2=2 \Rightarrow (x,y)=(\frac{2\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{10}}{5});(\frac{-2\sqrt{10}}{5},\frac{-\sqrt{10}}{5})$ Vậy Phương trình có các nghiệm $(x,y)=.....$ Mời mọi người đưa ra lời giải khác bình luận và chém gió...
|
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Lời Mở Đầu
|
|
|
|
Tình hình là Khờ mới chiêu mộ cuốn sách Chắt Lọc Tinh Túy Trong Chuỗi Đề Thi Thử THPT Quốc Gia Môn Toán Dù chưa kiểm tra chất lượng nhưng nghe tên sách hay hay thấy thích thích rồi Và có dự định mỗi ngày sẽ đăng bài là bài lấy từ quyển sách này, kèm theo Lời Giải và Bình Luận chi tiết trong sách lên đây cho mọi người xem thảo luận và đưa ra ý kiến hay những cách giải khác Giới thiệu qua cuốn sách : Bìa màu vàng nhìn khá đẹp Mục lục sách được chia làm 30 ngày và 4 chuyên đề cụ thể như sau
Chuyên đề I: 8 ngày luyện thi Phương trình hệ phương trình Chuyên đề II: 11 hình tọa độ Oxy Chyên đề III : 8 ngày luyện thi bất đẳng thức
Chuyên đề IV: 3 ngày luyện đề và 1 số hình ảnh để moi người tìm hiểu thêm
Lưu ý: ai có điều kiện thì mua sách anh không biết còn anh đăng thì anh vãn đăng mong mọi người ủng hộ Mục đích kiếm vote với cho mọi người thảo luận vui
Hoặc mà rảnh rành thì có thể đăng đề Megabook lên nữa chém cho vui Mà anh cũng sợ không được ủng hộ nên đăng lên mất công lắm nếu bài đăng này được >10 vote thì anh làm nhéP/S: mong mđ đừng báo cáo vi phạm
|
|