Từ giả thiết ta có
$x,y,z\in[0;1]\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy+yz(1-x)+zx(1-y)\geq 0$
Khờ ca và mn cũng có
$yz\leq \frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(1-x)^2}{4}$
ta sẽ chơi trội chứng minh thẳng nó $ \leq \frac{7}{27}$ luôn :v
$\Leftrightarrow xy+yz+zx-2xyz-\frac{7}{27}\leq 0 \Leftrightarrow f\left ( yz \right )=(1-2x)yz+x(1-x)-\frac{7}{27}\leq 0$ $(*)$
ta thấy rằng
$-$ Nếu $x=\frac{1}{2}$ khi đó $(*)=-\frac{1}{108}\leq 0$ luôn đúng
$-$ Nếu $x\neq \frac{1}{2}$ thì $f(yz)$ là hàm số bậc nhất xác định trên đoạn $\left[ {0;\frac{(1-x)^2}{4}} \right]$.
Do đó để chứng minh $f(yz)\leq 0 $ ta chỉ cần chứng minh $\begin{cases}f(0)\leq 0\\ f\left[ {\frac{(1-x)^2}{4}} \right]\leq0 \end{cases}$
ta có
$f(0)=x(1-x)-\frac{7}{27}=-\left ( x-\frac{1}{2} \right )^2-\frac{1}{108}<0$
và
$f\left[ {\frac{(1-x)^2}{4}} \right]=(1-2x).\frac{(1-x)^2}{4}+x(1-x)-\frac{7}{27}=-\frac{1}{108}(6x+1)(3x-1)^2\leq 0$
Vậy ta đã có đpcm -_-
P/S: mà nãy huynh nhớ nhầm tên nhé, vì cách này lợi dụng tính chất của hàm bậc nhất nên tên của nó phải là Nhất Dương Chỉ nhé :D