thử dự đoán dấu bằng xem, bộ số a=b=c=1 là thích hợp
nhự vậy thì thay a=b=c=1 thì ta có như sau
$\frac{a^{3}}{b(a+c)}=\frac {1}{2}  ; \frac{a+c}{4}=\frac{1}{2}  ; \frac{b}{2}=\frac{1}{2}$  ( để ý chỗ này,lát xài)
áp dụng BĐT côsi cho 3 số (sao lại là 3,vì có mũ 3, vế phải thì lại bậc1 nên phải có căn bậc 3  mà rút)
$\frac{a^{3}}{b(a+c)}+\frac{a+c}{4}+\frac{b}{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{3}}{2}}$
hay $\frac{a^{3}}{b(a+c)}+\frac{a+c}{4}+\frac{b}{2} \geq 3\times \frac{a}{2}$
sao lại chọn 2 số kia?, để 2 cái tử rút gọn vs mẫu và do cái giá trị $\frac{1}{2}$ ấy
tương tự 2 số kia :
$\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{a+b}{4}+\frac{c}{2} \geq 3\times \frac{b}{2}$
$\frac{c^{3}}{a(b+c)}+\frac{b+c}{4}+\frac{a}{2} \geq 3\times \frac{c}{2}$
chuyển vế
$\Rightarrow VT \geq 3(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2})-(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2})-\frac {1}{4}(a+c+a+b+b+c)$
hay $VT \geq \frac{1}{2}(a+b+c)$ (ĐPCM)
một trong những dạng ít ỏi mình biết làm :>

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

nhầmr  kìa, tứ giác ANCM phải k
câu a) ta có $\triangle ADN=\triangle CDM$ (cạnh góc cạnh,tự tìm dữ kiện này nhé) $\Rightarrow $ $AN=CM$ và $\widehat{AND}=\widehat{CMD}$ mà 2 góc ở vị trí so le trong,suy ra AN song song MC
tứ giác ANCM có AN=CM,AN song song CM nên là hình bình hành
câu b) D là trung điểm AC,M là trung điểm BC suy ra DM song song AB hay MN song song AB (vì D,M,N thẳng hàng) và DM= $\frac{1}{2}$ AB,mà D là trung điểm MN(N đối xứng M qua D)suy ra MN=2DM
tứ giác ANMB có AB song song MN và AB=MN nên là hình bình hành
câu c)ANCM là hình chữ nhật thì cần 1 góc vuông nữa (vì nó đã là hình bình hành) hay AM vuông góc CM tức là AM vuông góc BC,vậy AM là đường cao.
AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao vậy $\triangle$ ABC cân tại A thì ANCM là hình chữ nhật
câu d) $BM=\frac{1}{2} BC=3cm$
$\triangle ABC$ cân tại A, AM vuông góc BC
tam giác ABM vuông tại M , áp dụng định lý pytago $AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=25-9=16$ vậy $AM=4cm
;MC=BM=3cm$
$S_{ANCM} =AM\times CM=4\times 3=12 cm^{2}$

mình mới nghĩ sơ sơ ra bài 1,bài 2 đang nghĩ, ra rồi edit sau :)
có t/c sau: số đo của góc nội tiếp bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung
gọi I là tâm đường tròn
$(C)$ đi qua A và B nên I nằm trên đường trung trực AB có pt  $x-y+1=0 $
vậy tọa độ I có dạng $I(a;a+1)$
dùng t/c góc nội tiếp, $\widehat{MAN}=60^{o} \Rightarrow \widehat{MIN}=120^{o}$
gọi H là chân đường cao từ I của tam giác IMN
suy ra  $IH=d_{(I;(d))}$ và $\widehat{MIH}=60^{o}$ suy ra $IH=\frac{1}{2}MI$ mà $MI=IA$ (bán kính)
$\Rightarrow d_{(I;(d))}=\frac{1}{2}AI$ ;$\overrightarrow{AI}=(a-1;a-1)$
$\Rightarrow |a-2|=\frac {1}{2} \times \sqrt{(a-1)^{2}+(a-1)^{2}}$
$\Rightarrow |a-2|=\frac {1}{2} \times \sqrt{2(a-1)^{2}}$
bình phương 2 vế
suy ra $(a-2)^{2}=\frac {1}{2}(a-1)^{2}$
giải pt suy ra $a=3+ \sqrt{2}                    ;             a=3- \sqrt{2}$
có tâm I rồi,vài công đoạn thay số nữa là ok
ra hơi xấu, kbiết đúng k nhỉ :-/