$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**).Đặt $a=xb$(**)$\Leftrightarrow ((x^2+x+1)(x+1))^2 \ge 36x^3\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+6x^3+19x^2+6x+1) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**)Giả sử $a\ge b$ .Đặt $a=xb(x \ge 1)$(**)$\Leftrightarrow [(x^2+x+1)(x+1)]^2 \ge 36x^3 $$VT \ge(3x)^2.4x^2 \ge VP$(ok)Vậy $k=8$ là số cần tìm

Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \frac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}$$\overset{(2)}{\le} \frac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$ Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$hay:$3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev:$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay

Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \tfrac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}\overset{(2)}{\le} \tfrac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$$\Leftrightarrow 3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev:$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay

Giúp em

Cho a,b,c dương chứng minh: a^3 + b^3 + c^3 \geq ab + bc +ca b c a

Bất đẳng thức

Cho a,b,c dương chứng minh:

$\frac{a^3}b + \frac{b^3}c + \frac{c^3}a \geq ab + bc +ca$

Bất đẳng thức

Hehhhhhhhhh!!!

$\frac{3}{\sin^2 x}$ + $\tan^2 x$ + $ \tan x$ + $\cot x$ = 1

Phương trình bậc 2 đối...

Hehhhhhhhhh!!!

$\frac{3}{\sin^2 x} + \tan^2 x + \tan x + \cot x = 1$

Phương trình bậc 2 đối...

Tìm Max

https://photos.google.com/search/_tra_/photo/AF1QipPXnI7-5VHK_0xzfoehvT2rwDOc3l4HTnPBACtl

GTLN, GTNN

Tìm Max

GTLN, GTNN

help me

giải phương trình: $|x-1|+\sqrt{2x-x^2}+x^2+x+1=\sqrt{6x^2+3}+\sqrt{2x-1}$

Giải và biện luận phương...

help me

giải phương trình: $|x-1|+\sqrt{2x-x^2}+x^2+x+1=\sqrt{6x^2+3}+\sqrt{2x-1}$

Phương trình vô tỉ

ngoài lề: ai ôn thi đại học tính thi trường nào vào báo ae xem cái :))))

1+2\sqrt{x^{2}-9x+18}=x+\sqrt{x^{2}-14x+33}

Phương trình mũ

ngoài lề: ai ôn thi đại học tính thi trường nào vào báo ae xem cái :))))

$1+2\sqrt{x^{2}-9x+18}=x+\sqrt{x^{2}-14x+33}$

Phương trình mũ

Xét tứ giác nội tiếp $HEKC$ có $\widehat{HKE}=\widehat{HCE}$Tương tự $\widehat{HKD}=\widehat{HBD}$Mà $\widehat{HBD}=\widehat{HCE}$ do $DECB$ là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow \widehat{HKE}=\widehat{HKD}$(1)~~~~~~~Gọi hình chiếu của $D$ trên $BC$ là $D'$, vì $BC$ là đường kính nên $D'$ thuộc đtròn đường kính $BC$Gọi $H'$ là giao điểm của $HK$ và đường tròn thuộc cung lớn $DE$Dễ thấy $H$ là trực tâm của $\triangle ABC\Rightarrow HH' \perp BC$Mà $D'$ đối xứng với $D$ qua $BC$$\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD}'$ (2)Từ $(1)$ & $(2)\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD'}$$\Rightarrow D',K,E$ thẳng hàng~~~~~~~~~Lại có $KD+KE=KD'+KE=D'E$Mà hiển nhiên $D'E \le BC$ do $BC$ là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cungVậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi $\triangle ABC$ cân tại $A$

1)Xét tứ giác nội tiếp $HEKC$ có $\widehat{HKE}=\widehat{HCE}$Tương tự $\widehat{HKD}=\widehat{HBD}$Mà $\widehat{HBD}=\widehat{HCE}$ do $DECB$ là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow \widehat{HKE}=\widehat{HKD}$(1)~~~~~~~Gọi hình chiếu của $D$ trên $BC$ là $D'$, vì $BC$ là đường kính nên $D'$ thuộc đtròn đường kính $BC$Gọi $H'$ là giao điểm của $HK$ và đường tròn thuộc cung lớn $DE$Dễ thấy $H$ là trực tâm của $\triangle ABC\Rightarrow HH' \perp BC$Mà $D'$ đối xứng với $D$ qua $BC$$\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD}'$ (2)Từ $(1)$ & $(2)\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD'}$$\Rightarrow D',K,E$ thẳng hàng~~~~~~~~~Lại có $KD+KE=KD'+KE=D'E$Mà hiển nhiên $D'E \le BC$ do $BC$ là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cungVậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi $\triangle ABC$ cân tại $A$2)Áp dụng bđt cosi cho các số dương$\left.\begin{matrix} \dfrac{a^2}{b-1}+4(b-1) \ge 4a\\ \dfrac{b^2}{c-1}+4(c-1) \ge 4b\\ \dfrac{c^2}{a-1}+4(a-1) \ge 4c\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1} \ge 12$

Chế dãy số tí:))

Bài 1:Tìm số còn thiếu trong dãy sau$4,32,648,16384,.....$anh sẽ ở bên em trọn đời Rose của anh ới!!!!!!!!!Xem thêm : Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức nhé CLICK !

Việt Nam từ đầu thế kỉ X...

Chế dãy số tí:))

Bài 1:Tìm số còn thiếu trong dãy sau$4,32,648,16384,.....$anh sẽ ở bên em trọn đời Rose của anh ới!!!!!!!!!Xem thêm : Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức nhé CLICK !

Dãy số

mọi người giải bài này giúp Băng đi

Giải hệ pt zx=xzy=yyy=x

Hệ phương trình

mọi người giải bài này giúp Băng đi

Giải hệ pt $\begin{cases}z^x=x \\z^y=y\\ y^y=x \end{cases}$

Hệ phương trình

Dễ khó tưởng

Cho 2 số thực x,y thoả mãn $\begin{cases}x^{2}+xy^{2016}-(y^{2016}+1)= 0\\ \sqrt[4]{x-1}=\sqrt[3]{y}+2016x-2015 \end{cases}$Hãy tính giá trị biểu thức : P=$\frac{5}{2}(x-1)^{2016}-\frac{1}{2}(y-2)^{2015}+2017 $

Phương trình

Dễ khó tưởng

Cho 2 số thực x,y thoả mãn $\begin{cases}x^{2}+xy^{2016}-(y^{2016}+1)= 0\\ \sqrt[4]{x-1}=\sqrt[3]{y}+2016x-2015 \end{cases}$Hãy tính giá trị biểu thức : $P=\frac{5}{2}(x-1)^{2016}-\frac{1}{2}(y-2)^{2015}+2017 $

Phương trình

Chuyên đề (Hate dieulinh)

Câu 5: (3,5 điểm)Cho tam giác $ABC$ không là tam giác cân, biết tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của $BC$, $CA,$ $AB $với đường tròn $(I)$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng$ EF $và đường thẳng $BC$, biết $AD$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm$ N $(N không trùng với D), giọi $K$ là giao điểm của $AI $và$ EF$.1) Chứng minh rằng các điểm$ I, D, N, K$ cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh$ MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I).$

Việt Nam từ đầu thế kỉ X...

Chuyên đề

Câu 5: (3,5 điểm)Cho tam giác $ABC$ không là tam giác cân, biết tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của $BC$, $CA,$ $AB $với đường tròn $(I)$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng$ EF $và đường thẳng $BC$, biết $AD$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm$ N $(N không trùng với D), giọi $K$ là giao điểm của $AI $và$ EF$.1) Chứng minh rằng các điểm$ I, D, N, K$ cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh$ MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I).$

Hình học phẳng

:D

Cho các số thực khác nhau đôi một $a,b,c$.CMR:$\left| {\frac{a+b}{a-b}} \right|+\left| {\frac{b+c}{b-c}} \right|+\left| {\frac{c+a}{c-a}} \right|\geq2$

Bất đẳng thức

Cho các số thực khác nhau đôi một $a,b,c$.CMR:

$$\left| {\frac{a+b}{a-b}} \right|+\left| {\frac{b+c}{b-c}} \right|+\left| {\frac{c+a}{c-a}} \right|\geq2$$

Bất đẳng thức

Lè lè cho cái lưỡi dài ra!!!!!!!$pt\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1})^3+(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1})=(x+1)+\sqrt[3]{x+1}$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{x+1}$$\Leftrightarrow \sqrt[3] x=\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}$$\Leftrightarrow x=x+1+x-1+3(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}).\sqrt[3]{(x+1)(x-1})$$\Leftrightarrow \frac{x+1+x-1}{2}+3(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}).\sqrt[3]{(x+1)(x-1})=0$Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a,\sqrt[3]{x-1}=b$ (a>b)$\Rightarrow \dfrac{a^3+b^3}2+3ab(a+b)=0 $$\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2+6ab)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+b=0\\ a^2+5ab+b^2=0 \end{array} \right.$Với $a+b=0$ dễ dàng tìm đc $x=0$Với $a^2+5ab+b^2$... chưa làm ra :)) (chỉ biết $x^2=\frac{27}{28} $ bạn nào làm thử)$a^2+5ab+b^2=0 $$<=> a=\frac{b(\sqrt{21}-5)}{2} (1)$hoặc $a=\frac{b(-5-\sqrt{21})}{2}(2)$với (1) ta có : $2\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}(\sqrt{21}-5)$$<=> x=\frac{-8-(\sqrt{21}-5)^3}{8-(\sqrt{21}-5)^3}$tương tự với (2)ps: đáp án $x^2=\frac{27}{28} $là đáp án gần đúng thôi

Lè lè cho cái lưỡi dài ra!!!!!!!$pt\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1})^3+(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1})=(x+1)+\sqrt[3]{x+1}$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{x+1}$$\Leftrightarrow \sqrt[3] x=\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}$$\Leftrightarrow x=x+1+x-1+3(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}).\sqrt[3]{(x+1)(x-1})$$\Leftrightarrow \frac{x+1+x-1}{2}+3(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}).\sqrt[3]{(x+1)(x-1})=0$Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a,\sqrt[3]{x-1}=b$ (a>b)$\Rightarrow \dfrac{a^3+b^3}2+3ab(a+b)=0 $$\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2+6ab)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+b=0\\ a^2+5ab+b^2=0 \end{array} \right.$Với $a+b=0$ dễ dàng tìm đc $x=0$Với $a^2+5ab+b^2=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=\frac{b(\sqrt{21}-5)}{2} (1)\\ a=\frac{b(-\sqrt{21}-5)}{2} (2) \end{array} \right.$với (1) ta có : $2\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}(\sqrt{21}-5)$$\Leftrightarrow x=\frac{-8-(\sqrt{21}-5)^3}{8-(\sqrt{21}-5)^3}=\frac{-48(2\sqrt{21}-9)}{-32(3\sqrt{21}-14)}=-\sqrt{\frac{27}{28}}$ với (2) ta có $2\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}(-\sqrt{21}-5)$$\Leftrightarrow x=\frac{-8-(-\sqrt{21}-5)^3}{8-(-\sqrt{21}-5)^3}=\sqrt{\frac{27}{28}}$ Vậy $\color{red}{S=\{0,\pm \sqrt{\frac{27}{28}}\}} $

Nam giải hộ với $\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$ dùng bđt minkowski

$\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$dùng bđt minkowski

Phương trình vô tỉ

$\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$

$\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$dùng bđt minkowski

Phương trình vô tỉ