Nam giải hộ với $\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$ dùng bđt minkowski

$\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$dùng bđt minkowski

Phương trình mũ

Nam giải hộ với $\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$ dùng bđt minkowski

$\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$dùng bđt minkowski

Phương trình vô tỉ

Đk $...,y \ge0$Nhận thấy $x=0$ ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế $pt(1)$ cho $x \ne0$ $\Rightarrow \sqrt{5\left( \frac yx \right)^2-6\left( \frac yx \right)+2}+\sqrt{13\left( \frac yx \right)^2+2\left( \frac yx \right)+2}=2\left[ \left( \frac yx \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{5a^2-6a+2}+\sqrt{13a^2+2a+2}=2(a+1)$ ($a=\frac yx$)$\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a=\frac 12 \Leftrightarrow x=2y$Thế vào $pt(2)$:$\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y$$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3$$\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)$$\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0$Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn $>0 \forall y \ge0$$\Rightarrow y=1$$\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}$____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra $VT \ge VP$ (có dấu bẳng xảy ra khi $x=2y$)

Đk $...,y \ge0$Nhận thấy $y=0$ ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế $pt(1)$ cho $y >0$ $\Rightarrow \sqrt{2\left( \frac xy \right)^2-6\left( \frac xy \right)+5}+\sqrt{2\left( \frac xy \right)^2+2\left( \frac xy \right)+13}=2\left[ \left( \frac xy \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{2a^2+2a+13}=2(a+1)$ ($a=\frac xy$)$\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a= 2 \Leftrightarrow x=2y$Thế vào $pt(2)$:$\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y$$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3$$\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3$$\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)$$\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0$Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn $>0 \forall y \ge0$$\Rightarrow y=1$$\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}$____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra $VT \ge VP$ (có dấu bẳng xảy ra khi $x=2y$)

hệ phương trình

Giải hệ pt : $\sqrt{2x^2 -6xy + 5y^2}$ + $\sqrt{2x^2 + 2xy + 13y^2}$ = 2( x + y ) ( x + 2y )$\sqrt{ x + 2}$ - 4y^2 . $\sqrt{y}$ = 8y^4 . $\sqrt{y}$ - 2 $\sqrt{ x + 2 }$

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Giải hệ phương trình

\begin{cases} \sqrt{2x^2-6xy+5y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+13y^2}=2(x+y)\\ (x+2y)\sqrt{x+2}-4y^2\sqrt y=8y^4 \sqrt y-2\sqrt{x+2} \end{cases}

Hệ phương trình

toán 9

tìm n nguyên dương thỏa mãn N=($n^{2}$+n-2)($n^2$+5n+4) là số chính phương

Chứng minh đẳng thức

toán 9

Tìm $n$ nguyên dương thỏa mãn $N=(n^{2}+n-2)(n^2+5n+4)$ là một số chính phương

Số học

Cách 1Dùng bdt holder ta có $P^2.6=(a^3+2b^3+3c^3)(a^3+2b^3+3c^3)(1+2+3) \ge (a^2+2b^2+3c^2)^3=1$$\Leftrightarrow P \ge \sqrt{\frac 16}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\frac 16}$Cách 2Dùng bdt AM-GM$\left.\begin{matrix} a^3+a^3+\dfrac 1{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{3}{\sqrt 6}a^2 \\ 2b^3+2b^3+\dfrac{2}{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{6}{\sqrt 6}b^2 \\ 3c^3+3c^3+ \dfrac{3}{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{9}{\sqrt 6}c^2\end{matrix}\right\}\Rightarrow \text{kết quả tương tự}$

Dùng bdt holder ta có $P^2.\frac{407}{144}=(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)(\frac 14+\frac 89+\frac{27}{16}) \ge (a^2+2b^2+3c^2)^3=1$$\Leftrightarrow P \ge \frac{12}{\sqrt{407}}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}},b=\frac{8}{\sqrt{407}},c=\frac{9}{\sqrt{407}}$

$bdt\Leftrightarrow \sqrt[n]{\frac{a}{(b+c)(n-1)}}+\sqrt[n]{\frac{b}{(c+a)(n-1)}}+\sqrt[n]{\frac{c}{(a+b)(n-1)}} > \frac{n}{n-1}$Ta có :$\sqrt[n]{\frac{a}{(b+c)(n-1)}}=\frac{1}{\sqrt[n]{\left[\dfrac {b+c}a(n-1) \right].\overset{n-1 \hspace{1mm} \text{số} \hspace{1mm}1}{\overbrace{1.1...1}}}} \ge \frac{n}{\dfrac{b+c}a(n-1)+\overset{n-1 \hspace{1mm} \text{số} \hspace{1mm} 1}{\overbrace{1+1+1+...+1}}}$$\frac{an}{(a+b+c)(n-1)}$Tương tự cộng lại $\Rightarrow$ dpcm (dấu = ko xảy ra)

$bdt\Leftrightarrow \sqrt[n]{\frac{a}{(b+c)(n-1)}}+\sqrt[n]{\frac{b}{(c+a)(n-1)}}+\sqrt[n]{\frac{c}{(a+b)(n-1)}} > \frac{n}{n-1}$Ta có :$\sqrt[n]{\frac{a}{(b+c)(n-1)}}=\frac{1}{\sqrt[n]{\left[\dfrac {b+c}a(n-1) \right].\overset{n-1 \hspace{1mm} \text{số} \hspace{1mm}1}{\overbrace{1.1...1}}}} \ge \frac{n}{\dfrac{b+c}a(n-1)+\overset{n-1 \hspace{1mm} \text{số} \hspace{1mm} 1}{\overbrace{1+1+1+...+1}}}$$=\frac{an}{(a+b+c)(n-1)}$Tương tự cộng lại $\Rightarrow$ dpcm (dấu = ko xảy ra)Hoặc xem tại đây

Giả sử $c= \min \{a,b,c \}$Khi đó $P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}$$\Rightarrow 3P \ge (a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right) $$\ge(a^2+b^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right)$$\Leftrightarrow 3P \ge \left[ (a-b)^2+2ab \right]\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac {(a-b)^2+2ab}{a^2b^2}\right]$$=1+\frac{2ab}{(a-b)^2}+\left[ \frac{(a-b)^2+2ab}{ab} \right]^2=1+\frac 2t+(t+2)^2$ với $t=\frac{(a-b)^2}{ab}(t>0)$$=5+\frac 2t+t^2+4t$Tới đây có thể giải = pp hàm số cho gọnmình ko biết xét hàm nên tạm giải = pp tham số hóa$3P \ge 5+\frac 2t+t^2+4t=5+\left( \frac{-2+\sqrt 5}{t}+\frac{-2+\sqrt 5}{t}+t^2\right)+\left( \frac{6-2\sqrt 5}{t} +4t\right)$$\ge 5+3\sqrt[3]{(-2+\sqrt 5)^2}+2\sqrt{4(6-2\sqrt 5) }$$\qquad =\frac{11+5\sqrt 5}{6}$Vậy $\min P= \uparrow \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}+\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},y=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}-\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},z=0$Và các hoán vị

Giả sử $c= \min \{a,b,c \}$Khi đó $P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}$$\Rightarrow 3P \ge (a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right) $$\ge(a^2+b^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right)$$\Leftrightarrow 3P \ge \left[ (a-b)^2+2ab \right]\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac {(a-b)^2+2ab}{a^2b^2}\right]$$=1+\frac{2ab}{(a-b)^2}+\left[ \frac{(a-b)^2+2ab}{ab} \right]^2=1+\frac 2t+(t+2)^2$ với $t=\frac{(a-b)^2}{ab}(t>0)$$=5+\frac 2t+t^2+4t$Tới đây có thể giải = pp hàm số cho gọnmình ko biết xét hàm nên tạm giải = pp tham số hóa$3P \ge 5+\frac 2t+t^2+4t=5+\left( \frac{-2+\sqrt 5}{t}+\frac{-2+\sqrt 5}{t}+t^2\right)+\left( \frac{6-2\sqrt 5}{t} +4t\right)$$\ge 5+3\sqrt[3]{(-2+\sqrt 5)^2}+2\sqrt{4(6-2\sqrt 5) }$$\quad \Leftrightarrow P \ge\frac{11+5\sqrt 5}{6}$Vậy $\min P= \uparrow \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}+\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},y=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}-\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},z=0$Và các hoán vị

$pt(3) \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac 7{12}\Leftrightarrow \frac{22-z-t}{\dfrac {648}{zt}}=\frac 7{12}$Đặt $\begin{cases}z+t=\alpha \\ zt= \beta \end{cases}$ ($\alpha ^2 \ge 4 \beta)$$pt(3)\Leftrightarrow \frac{(22-\alpha).\beta}{648}=\frac 7{12}\Leftrightarrow (22-\alpha).\beta =378 (\star)$$pt(4)\Leftrightarrow \frac{\alpha}{\beta}=\frac{5}{18} (\star\star)$Từ $(\star),(\star \star)\Leftrightarrow \begin{cases}\alpha=69 \\ \beta= 810 \end{cases}$ (loại 1 nghiệm)$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}z=6 \\ t=9 \end{cases}\\ \begin{cases}z= 9\\ t= 6\end{cases} \end{array} \right.$Từ đó tìm dc 4 nghiệm $(3;4;6;9);(3;4;9;6)(4;3;6;9);(4;3;9;6)$

$pt(3) \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac 7{12}\Leftrightarrow \frac{22-z-t}{\dfrac {648}{zt}}=\frac 7{12}$Đặt $\begin{cases}z+t=\alpha \\ zt= \beta \end{cases}$ ($\alpha ^2 \ge 4 \beta)$$pt(3)\Leftrightarrow \frac{(22-\alpha).\beta}{648}=\frac 7{12}\Leftrightarrow (22-\alpha).\beta =378 (\star)$$pt(4)\Leftrightarrow \frac{\alpha}{\beta}=\frac{5}{18} (\star\star)$Từ $(\star),(\star \star)\Leftrightarrow \begin{cases}\alpha=15 \\ \beta= 54 \end{cases}$ (loại 1 nghiệm)$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}z=6 \\ t=9 \end{cases}\\ \begin{cases}z= 9\\ t= 6\end{cases} \end{array} \right.$Từ đó tìm dc 4 nghiệm $(3;4;6;9);(3;4;9;6)(4;3;6;9);(4;3;9;6)$

Mn lm giùm (vote up lun nhé ) !!!

Bình chọn giảmGiải hệ phương trình :x+y+z+t=22" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">x+y+z+t=22x+y+z+t=22xyzt=648" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">xyzt=648xyzt=6481x+1y=712" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">1x+1y=7121x+1y=7121z+1t=518" role="presentation" style="font-size: 13.696px; display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; position: relative;">1z+1t=518

Hệ phương trình

Mn lm giùm (vote up lun nhé ) !!!

Giải hpt$$\begin{cases}x+y+z+t=22 \\xyzt=648\\\ \dfrac 1x+ \dfrac 1y=\frac{7}{12}\\ \dfrac 1z+\dfrac 1t=\dfrac 5{18} \end{cases}$$

Hệ phương trình

toán khó 9

cho các số thực dương $a,b,c$. CMR $\frac{8}{81}(a^{3}+b^{3}+c^{3})\left[(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c})^{3}+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a})^{3}+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b})^{3}\right]\geq \frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}+\frac{b^{2}+ca}{b(c+a)}+\frac{c^{2}+ab}{c(a+b)}$

Đại số

toán khó 9

cho các số thực dương $a,b,c$. CMR $\frac{8}{81}(a^{3}+b^{3}+c^{3})\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}\right)^{3}+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a}\right)^{3}+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}\right)^{3}\right]\geq \frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}+\frac{b^{2}+ca}{b(c+a)}+\frac{c^{2}+ab}{c(a+b)}$

Đại số

toán khó 9

cho các số thực dương $a,b,c$. CMR $\frac{8}{81}(a^{3}+b^{3}+c^{3})[(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c})^{3}+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a})^{3}+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b})^{3}]\geq \frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}+\frac{b^{2}+ca}{b(c+a)}+\frac{c^{2}+ab}{c(a+b)}$

Đại số

toán khó 9

cho các số thực dương $a,b,c$. CMR $\frac{8}{81}(a^{3}+b^{3}+c^{3})\left[(\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c})^{3}+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a})^{3}+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b})^{3}\right]\geq \frac{a^{2}+bc}{a(b+c)}+\frac{b^{2}+ca}{b(c+a)}+\frac{c^{2}+ab}{c(a+b)}$

Đại số

$Q=\frac{x^4}{xy+zz}+\frac{y^4}{zx+xy}+\frac{z^4}{xy+yz}+\frac{y^2z^2}{yz+z^2}+\frac{z^2x^2}{zx+x^2}+\frac{x^2y^2}{xy+y^2}$$\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{(xy+yz+zx)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}$$=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{t+1} \ge \frac{t}{2}+\frac{1}{t+1}=\frac{t+1}{4}+\frac{1}{t+1}+\frac{t-1}{4} \ge 1$Với $t=x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx=1$$\Rightarrow \min Q=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

$Q=\frac{x^4}{xy+zz}+\frac{y^4}{zx+xy}+\frac{z^4}{xy+yz}+\frac{y^2z^2}{yz+z^2}+\frac{z^2x^2}{zx+x^2}+\frac{x^2y^2}{xy+y^2}$$\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{(xy+yz+zx)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}$$=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{t+1} \ge \frac{t}{2}+\frac{1}{t+1}=\frac{t+1}{4}+\frac{1}{t+1}+\frac{t-1}{4} \ge 1$Với $t=x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx=1$$\Rightarrow \min Q=1\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\dfrac 13}$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \ge0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \ge0$ (bpt sai)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \le0 \\ a<0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\Leftrightarrow (m+2)(m+1) \le0 \\ m+1<0 \end{cases}$$\Leftrightarrow -2 \le m<1$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \le0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \le0$ (bpt đúng)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \le0 \\ a<0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\Leftrightarrow (m+2)(m+1) \le0 \\ m+1<0 \end{cases}$$\Leftrightarrow -2 \le m<-1$Vậy $-2 \le m \le -1$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \ge0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \ge0$ (bpt sai)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta' \le0 \Leftrightarrow (m+1)^2+(m+1) \le0$$\Leftrightarrow (m+2)(m+1) \le0\Leftrightarrow -2 \le m \le -1$Vậy $-2 \le m \le -1$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \ge0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \ge0$ (bpt sai)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \le0 \\ a<0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\Leftrightarrow (m+2)(m+1) \le0 \\ m+1<0 \end{cases}$$\Leftrightarrow -2 \le m&lt;1$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \ge0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \ge0$ (bpt sai)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \le0 \\ a>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(m+1)^2+(m+1) \le0 \\ m+1 >0 \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > -1\\ m \le-2 \end{array} \right.$

Dễ thấy $x^2-2x+5>0 \forall x$ nên ta chỉ cần chứng minh $(m+1)x^2-2(m+1)x-1 \ge0$(*)Với $m=-1,$(*)$\Leftrightarrow -1 \ge0$ (bpt sai)Với $m \ne-1$, vế phải của (*) trở thành tam thức bậc 2(*) Có nghiệm $\forall x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta' \le0 \Leftrightarrow (m+1)^2+(m+1) \le0$$\Leftrightarrow (m+2)(m+1) \le0\Leftrightarrow -2 \le m \le -1$Vậy $-2 \le m \le -1$